ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 927 Алимов — Подробные Ответы

1. у = -х4 + 8х2- 16;
2. у = х4 — 2х2 + 2;
3. у = 1 х4/4 — х6;
4. у = 6×4 — 4×6.

Задача 1: $y = -x^4 + 8x^2 — 16$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = -(x^4)’ + 8 \cdot (x^2)’ — (16)’$
$y'(x) = -4x^3 + 8 \cdot 2x — 0 = -4x^3 + 16x$

в) Стационарные точки:
$16x — 4x^3 = 0$
$4x(4 — x^2) = 0$
$(2 + x) \cdot 4x \cdot (2 — x) = 0$
$x_1 = -2, \, x_2 = 0, \, x_3 = 2$

г) Значения функции:
$f(\pm 2) = -(\pm 2)^4 + 8 \cdot (\pm 2)^2 — 16 = -16 + 32 — 16 = 0$
$f(0) = -0^4 + 8 \cdot 0^2 — 16 = -16$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\infty; -2) \cup (0; 2)$
• Убывает на $(-2; 0) \cup (2; +\infty)$
• $x = 0$ — точка минимума
• $x = \pm 2$ — точки максимума

е) Таблица свойств функции:

Задача 2: $y = x^4 — 2x^2 + 2$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x^4)’ — 2 \cdot (x^2)’ + (2)’$
$y'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 4x$

в) Стационарные точки:
$4x(x^2 — 1) = 0$
$(x + 1) \cdot 4x \cdot (x — 1) = 0$
$x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1$

г) Значения функции:
$f(\pm 1) = (\pm 1)^4 — 2 \cdot (\pm 1)^2 + 2 = 1 — 2 + 2 = 1$
$f(0) = 0^4 — 2 \cdot 0^2 + 2 = 2$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-1; 0) \cup (1; +\infty)$
• Убывает на $(-\infty; -1) \cup (0; 1)$
• $x = \pm 1$ — точки минимума
• $x = 0$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

Задача 3: $y = \frac{1}{4}x^4 — \frac{1}{24}x^6$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{4} \cdot (x^4)’ — \frac{1}{24} \cdot (x^6)’$
$y'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 — \frac{1}{24} \cdot 6x^5 = x^3 — \frac{1}{4}x^5$

в) Стационарные точки:
$x^3 — \frac{1}{4}x^5 = 0$
$x^3(1 — 0.25x^2) = 0$
$(1 + 0.5x) \cdot x \cdot (1 — 0.5x) = 0$
$x_1 = -2, \, x_2 = 0, \, x_3 = 2$

г) Значения функции:
$f(\pm 2) = \frac{1}{4}(\pm 2)^4 — \frac{1}{24}(\pm 2)^6 = \frac{16}{4} — \frac{64}{24} = 4 — \frac{8}{3} = \frac{12}{3} — \frac{8}{3} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$
$f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^4 — \frac{1}{24} \cdot 0^6 = 0$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\infty; -2) \cup (0; 2)$
• Убывает на $(-2; 0) \cup (2; +\infty)$
• $x = 0$ — точка минимума
• $x = \pm 2$ — точки максимума

е) Таблица свойств функции:

Задача 4: $y = 6x^4 — 4x^6$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = 6 \cdot (x^4)’ — 4 \cdot (x^6)’$
$y'(x) = 6 \cdot 4x^3 — 4 \cdot 6x^5 = 24x^3 — 24x^5$

в) Стационарные точки:
$24x^3 — 24x^5 = 0$
$24x^3(1 — x^2) = 0$
$(1 + x) \cdot x \cdot (1 — x) = 0$
$x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 1$

г) Значения функции:
$f(\pm 1) = 6 \cdot (\pm 1)^4 — 4 \cdot (\pm 1)^6 = 6 — 4 = 2$
$f(0) = 6 \cdot 0^4 — 4 \cdot 0^6 = 0$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-\infty; -1) \cup (0; 1)$
• Убывает на $(-1; 0) \cup (1; +\infty)$
• $x = 0$ — точка минимума
• $x = \pm 1$ — точки максимума

е) Таблица свойств функции:

Задача 1: $y = -x^4 + 8x^2 — 16$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой. То есть она существует для всех значений $x$.

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = -x^4 + 8x^2 — 16$, используем стандартные правила дифференцирования:

1. Производная $(x^4)’ = 4x^3$,
2. Производная $(x^2)’ = 2x$,
3. Производная от константы $(c)’ = 0$.

Итак, производная функции $y = -x^4 + 8x^2 — 16$ будет:

$$y'(x) = -(x^4)’ + 8 \cdot (x^2)’ — (16)’$$ $$y'(x) = -4x^3 + 8 \cdot 2x — 0 = -4x^3 + 16x$$

Ответ:

$$y'(x) = -4x^3 + 16x$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная функции равна нулю. То есть нужно решить уравнение:

$$y'(x) = -4x^3 + 16x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$-4x(x^2 — 4) = 0$$

Решим это уравнение. Первое условие $x = 0$ и второе $x^2 — 4 = 0$, что дает $x = \pm 2$.

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.

г) Значения функции:

Теперь найдем значения функции в найденных стационарных точках.

Для $x = -2$:

$$f(-2) = -(-2)^4 + 8 \cdot (-2)^2 — 16 = -16 + 32 — 16 = 0$$

Для $x = 0$:

$$f(0) = -(0)^4 + 8 \cdot (0)^2 — 16 = -16$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = -(2)^4 + 8 \cdot (2)^2 — 16 = -16 + 32 — 16 = 0$$

Ответ:
Значения функции:

• $f(-2) = 0$
• $f(0) = -16$
• $f(2) = 0$

д) Промежутки монотонности:

Для определения промежутков монотонности нужно исследовать знак производной $y'(x) = -4x^3 + 16x$ на различных интервалах.

Для $x \in (-\infty; -2)$:
Подставим значение $x = -3$ в производную:

$$y'(-3) = -4(-3)^3 + 16(-3) = -4(-27) — 48 = 108 — 48 = 60 > 0$$

Это означает, что на интервале $(-\infty; -2)$ функция возрастает.

Для $x \in (-2; 0)$:
Подставим значение $x = -1$:

$$y'(-1) = -4(-1)^3 + 16(-1) = -4(-1) — 16 = 4 — 16 = -12 < 0$$

Это говорит о том, что на интервале $(-2; 0)$ функция убывает.

Для $x \in (0; 2)$:
Подставим значение $x = 1$:

$$y'(1) = -4(1)^3 + 16(1) = -4 + 16 = 12 > 0$$

Это значит, что на интервале $(0; 2)$ функция возрастает.

Для $x \in (2; +\infty)$:
Подставим значение $x = 3$:

$$y'(3) = -4(3)^3 + 16(3) = -4(27) + 48 = -108 + 48 = -60 < 0$$

Это означает, что на интервале $(2; +\infty)$ функция убывает.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; -2) \cup (0; 2)$,
• Функция убывает на $(-2; 0) \cup (2; +\infty)$,
• $x = 0$ — точка минимума,
• $x = \pm 2$ — точки максимума.

е) Таблица свойств функции:

Задача 2: $y = x^4 — 2x^2 + 2$

а) Область определения:

Это также полиномиальная функция, которая определена на всей числовой прямой.
Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Найдем производную функции $y = x^4 — 2x^2 + 2$:

• Производная $(x^4)’ = 4x^3$,
• Производная $(x^2)’ = 2x$,
• Производная от константы $(2)’ = 0$.

Таким образом, производная функции будет:

$$y'(x) = (x^4)’ — 2 \cdot (x^2)’ + (2)’$$ $$y'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x + 0 = 4x^3 — 4x$$

Ответ:

$$y'(x) = 4x^3 — 4x$$

в) Стационарные точки:

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю:

$$4x^3 — 4x = 0$$

Вынесем общий множитель $4x$:

$$4x(x^2 — 1) = 0$$

Решение уравнения:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные стационарные точки в исходную функцию $y = x^4 — 2x^2 + 2$:

Для $x = -1$:

$$f(-1) = (-1)^4 — 2 \cdot (-1)^2 + 2 = 1 — 2 + 2 = 1$$

Для $x = 0$:

$$f(0) = 0^4 — 2 \cdot 0^2 + 2 = 2$$

Для $x = 1$:

$$f(1) = (1)^4 — 2 \cdot (1)^2 + 2 = 1 — 2 + 2 = 1$$

Ответ:
Значения функции:

• $f(-1) = 1$
• $f(0) = 2$
• $f(1) = 1$

д) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности исследуем знак производной $y'(x) = 4x^3 — 4x$.

Для $x \in (-\infty; -1)$:
Подставим значение $x = -2$:

$$y'(-2) = 4(-2)^3 — 4(-2) = -32 + 8 = -24 < 0$$

Функция убывает на интервале $(-\infty; -1)$.

Для $x \in (-1; 0)$:
Подставим значение $x = -0.5$:

$$y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 — 4(-0.5) = -1 — (-2) = 1 > 0$$

Функция возрастает на интервале $(-1; 0)$.

Для $x \in (0; 1)$:
Подставим значение $x = 0.5$:

$$y'(0.5) = 4(0.5)^3 — 4(0.5) = 0.5 — 2 = -1.5 < 0$$

Функция убывает на интервале $(0; 1)$.

Для $x \in (1; +\infty)$:
Подставим значение $x = 2$:

$$y'(2) = 4(2)^3 — 4(2) = 32 — 8 = 24 > 0$$

Функция возрастает на интервале $(1; +\infty)$.

Ответ:

• Функция возрастает на интервалах $(-1; 0) \cup (1; +\infty)$,
• Функция убывает на интервалах $(-\infty; -1) \cup (0; 1)$,
• $x = 0$ — точка максимума,
• $x = \pm 1$ — точки минимума.

е) Таблица свойств функции:

Задача 3: $y = \frac{1}{4}x^4 — \frac{1}{24}x^6$

а) Область определения:

Это полиномиальная функция, и полиномиальные функции определены на всей числовой прямой. То есть, для всех значений $x$ функция существует.

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Найдем производную функции $y = \frac{1}{4}x^4 — \frac{1}{24}x^6$.

1. Производная $\frac{1}{4}x^4$ — это $\frac{1}{4} \cdot 4x^3 = x^3$,
2. Производная $\frac{1}{24}x^6$ — это $\frac{1}{24} \cdot 6x^5 = \frac{1}{4}x^5$.

Итак, производная функции будет:

$$y'(x) = x^3 — \frac{1}{4}x^5$$

Ответ:

$$y'(x) = x^3 — \frac{1}{4}x^5$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная функции равна нулю:

$$y'(x) = x^3 — \frac{1}{4}x^5 = 0$$

Вынесем общий множитель $x^3$:

$$x^3(1 — \frac{1}{4}x^2) = 0$$

Решим это уравнение. Первое условие $x^3 = 0$ дает $x = 0$, а второе условие $1 — \frac{1}{4}x^2 = 0$ дает:

$$\frac{1}{4}x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2$$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -2, x_2 = 0, x_3 = 2$.

г) Значения функции:

Теперь найдем значения функции в этих стационарных точках.

Для $x = -2$:

$$f(-2) = \frac{1}{4}(-2)^4 — \frac{1}{24}(-2)^6 = \frac{16}{4} — \frac{64}{24} = 4 — \frac{8}{3} = \frac{12}{3} — \frac{8}{3} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$$

Для $x = 0$:

$$f(0) = \frac{1}{4} \cdot 0^4 — \frac{1}{24} \cdot 0^6 = 0$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = \frac{1}{4}(2)^4 — \frac{1}{24}(2)^6 = \frac{16}{4} — \frac{64}{24} = 4 — \frac{8}{3} = \frac{12}{3} — \frac{8}{3} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}$$

Ответ:
Значения функции:

• $f(-2) = 1 \frac{1}{3}$
• $f(0) = 0$
• $f(2) = 1 \frac{1}{3}$

д) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности нужно исследовать знак производной $y'(x) = x^3 — \frac{1}{4}x^5$.

Для $x \in (-\infty; -2)$:
Подставим $x = -3$:

$$y'(-3) = (-3)^3 — \frac{1}{4}(-3)^5 = -27 + \frac{243}{4} = -27 + 60.75 = 33.75 > 0$$

Функция возрастает на интервале $(-\infty; -2)$.

Для $x \in (-2; 0)$:
Подставим $x = -1$:

$$y'(-1) = (-1)^3 — \frac{1}{4}(-1)^5 = -1 + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4} < 0$$

Функция убывает на интервале $(-2; 0)$.

Для $x \in (0; 2)$:
Подставим $x = 1$:

$$y'(1) = (1)^3 — \frac{1}{4}(1)^5 = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$$

Функция возрастает на интервале $(0; 2)$.

Для $x \in (2; +\infty)$:
Подставим $x = 3$:

$$y'(3) = (3)^3 — \frac{1}{4}(3)^5 = 27 — \frac{243}{4} = 27 — 60.75 = -33.75 < 0$$

Функция убывает на интервале $(2; +\infty)$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; -2) \cup (0; 2)$,
• Функция убывает на $(-2; 0) \cup (2; +\infty)$,
• $x = 0$ — точка минимума,
• $x = \pm 2$ — точки максимума.

е) Таблица свойств функции:

Задача 4: $y = 6x^4 — 4x^6$

а) Область определения:

Полиномиальная функция, которая определена для всех значений $x$.

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Производная функции:

Найдем производную функции $y = 6x^4 — 4x^6$:

1. Производная $(x^4)’ = 4x^3$,
2. Производная $(x^6)’ = 6x^5$.

Тогда производная функции будет:

$$y'(x) = 6 \cdot (x^4)’ — 4 \cdot (x^6)’ = 6 \cdot 4x^3 — 4 \cdot 6x^5 = 24x^3 — 24x^5$$

Ответ:

$$y'(x) = 24x^3 — 24x^5$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная функции равна нулю:

$$24x^3 — 24x^5 = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$24x^3(1 — x^2) = 0$$

Решим это уравнение. Получаем $x = 0$, а также $1 — x^2 = 0$, что дает $x = \pm 1$.

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 1$.

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные значения $x = -1, 0, 1$ в исходную функцию $y = 6x^4 — 4x^6$:

Для $x = -1$:

$$f(-1) = 6(-1)^4 — 4(-1)^6 = 6 — 4 = 2$$

Для $x = 0$:

$$f(0) = 6(0)^4 — 4(0)^6 = 0$$

Для $x = 1$:

$$f(1) = 6(1)^4 — 4(1)^6 = 6 — 4 = 2$$

Ответ:
Значения функции:

• $f(-1) = 2$
• $f(0) = 0$
• $f(1) = 2$

д) Промежутки монотонности:

Для анализа монотонности нужно исследовать знак производной $y'(x) = 24x^3 — 24x^5$.

Для $x \in (-\infty; -1)$:
Подставим $x = -2$:

$$y'(-2) = 24(-2)^3 — 24(-2)^5 = -192 + 768 = 576 > 0$$

Функция возрастает на интервале $(-\infty; -1)$.

Для $x \in (-1; 0)$:
Подставим $x = -0.5$:

$$y'(-0.5) = 24(-0.5)^3 — 24(-0.5)^5 = -3 — (-3) = 0$$

Функция убывает на интервале $(-1; 0)$.

Для $x \in (0; 1)$:
Подставим $x = 0.5$:

$$y'(0.5) = 24(0.5)^3 — 24(0.5)^5 = 3 — 0.75 = 2.25 > 0$$

Функция возрастает на интервале $(0; 1)$.

Для $x \in (1; +\infty)$:
Подставим $x = 2$:

$$y'(2) = 24(2)^3 — 24(2)^5 = 192 — 768 = -576 < 0$$

Функция убывает на интервале $(1; +\infty)$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-\infty; -1) \cup (0; 1)$,
• Функция убывает на $(-1; 0) \cup (1; +\infty)$,
• $x = 0$ — точка минимума,
• $x = \pm 1$ — точки максимума.

е) Таблица свойств функции: