ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1209 Алимов — Подробные Ответы

Двух футболистов, один из которых участвовал в пяти игровых сезонах, а другой — в шести (см. таблицу), сравнить по стабильности в забивании голов.

Условный номер сезона 1 2 3 4 5 6

Число голов, забитых 1-м футболистом 17 21 20 16 15 19

Число голов, забитых 2-м футболистом — 17 20 18 21 14

Сравним по стабильности в забивании голов результаты двух футболистов, один из которых участвовал в 5 игровых сезонов, а другой 6.

Решение

$$\overline{X}_1 = \frac{17 + 21 + 20 + 16 + 15 + 19}{6} = 18$$ $$\overline{X}_2 = \frac{17 + 20 + 18 + 21 + 14}{5} = 18$$

Воспользуемся определением и получим:

$$D_1 = \frac{(17 — 18)^2 + (21 — 18)^2 + (20 — 18)^2 + (16 — 18)^2}{6} +$$ $$+ \frac{(15 — 18)^2 + (19 — 18)^2}{6} = \frac{1 + 9 + 4 + 4 + 9 + 1}{6} \approx 4,67$$ $$D_2 = \frac{(17 — 18)^2 + (20 — 18)^2 + (18 — 18)^2 + (21 — 18)^2 + (14 — 18)^2}{5} =$$ $$= \frac{1 + 4 + 9 + 16}{5} = 6$$ $$D_1 < D_2$$

Значит, второй более нестабилен.

Ответ: второй более нестабилен.

Для сравнения стабильности результатов двух футболистов, мы будем использовать дисперсию. Дисперсия помогает измерить разброс значений относительно их среднего. Чем больше дисперсия, тем менее стабилен результат.

Шаги решения:

1. Найдем среднее количество голов для каждого футболиста (по всем сезонам).
2. Вычислим дисперсию для каждого футболиста, используя формулу дисперсии.
3. Сравним дисперсии: тот футболист, чья дисперсия меньше, будет более стабильным.

Шаг 1: Находим среднее количество голов для каждого футболиста

Первая выборка (для первого футболиста):
Число голов, забитых первым футболистом в каждом сезоне:

• 1-й сезон: 17
• 2-й сезон: 21
• 3-й сезон: 20
• 4-й сезон: 16
• 5-й сезон: 15
• 6-й сезон: 19

Среднее количество голов для первого футболиста ($\overline{X}_1$):

$$\overline{X}_1 = \frac{17 + 21 + 20 + 16 + 15 + 19}{6} = \frac{108}{6} = 18$$

Вторая выборка (для второго футболиста):
Число голов, забитых вторым футболистом в каждом сезоне:

• 1-й сезон: 17
• 2-й сезон: 20
• 3-й сезон: 18
• 4-й сезон: 21
• 5-й сезон: 14

Среднее количество голов для второго футболиста ($\overline{X}_2$):

$$\overline{X}_2 = \frac{17 + 20 + 18 + 21 + 14}{5} = \frac{90}{5} = 18$$

Итак, для обоих футболистов среднее количество голов за сезоны одинаково и равно 18.

Шаг 2: Рассчитываем дисперсию для каждого футболиста

Формула для дисперсии:

$$D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i — \overline{X})^2$$

где:

• $x_i$ — количество голов, забитое футболистом в $i$-м сезоне,
• $\overline{X}$ — среднее количество голов,
• $n$ — количество сезонов.

Для первого футболиста:

Число голов:

• 1-й сезон: 17
• 2-й сезон: 21
• 3-й сезон: 20
• 4-й сезон: 16
• 5-й сезон: 15
• 6-й сезон: 19

Среднее количество голов: $\overline{X}_1 = 18$

Вычислим отклонения от среднего и их квадраты:

• $(17 — 18)^2 = (-1)^2 = 1$
• $(21 — 18)^2 = 3^2 = 9$
• $(20 — 18)^2 = 2^2 = 4$
• $(16 — 18)^2 = (-2)^2 = 4$
• $(15 — 18)^2 = (-3)^2 = 9$
• $(19 — 18)^2 = 1^2 = 1$

Теперь вычислим сумму квадратов отклонений:

$$D_1 = \frac{1 + 9 + 4 + 4 + 9 + 1}{6} = \frac{28}{6} \approx 4.67$$

Для второго футболиста:

Число голов:

• 1-й сезон: 17
• 2-й сезон: 20
• 3-й сезон: 18
• 4-й сезон: 21
• 5-й сезон: 14

Среднее количество голов: $\overline{X}_2 = 18$

Вычислим отклонения от среднего и их квадраты:

• $(17 — 18)^2 = (-1)^2 = 1$
• $(20 — 18)^2 = 2^2 = 4$
• $(18 — 18)^2 = 0^2 = 0$
• $(21 — 18)^2 = 3^2 = 9$
• $(14 — 18)^2 = (-4)^2 = 16$

Теперь вычислим сумму квадратов отклонений:

$$D_2 = \frac{1 + 4 + 0 + 9 + 16}{5} = \frac{30}{5} = 6$$

Шаг 3: Сравнение дисперсий

Теперь сравним дисперсии:

• Дисперсия первого футболиста: $D_1 \approx 4.67$
• Дисперсия второго футболиста: $D_2 = 6$

Из этого видно, что дисперсия первого футболиста меньше, что означает, что его результаты более стабильны, чем у второго футболиста.

Первый футболист более стабилен в забивании голов, так как его дисперсия меньше.

Ответ: Первый футболист более стабилен.