ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 807 Алимов — Подробные Ответы

Найти f'(3) и f'(1), если:

1. f(x) =1/x + 1/x2;
2. f(x) = корень x + 1/x + 1;
3. f(x) = 3/корень x — 2/x3;
4. f(x) = x3/2 — x^-3/2.

1. $f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$;

$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ + (x^{-2})’ = -\frac{1}{x^2} — 2 \cdot x^{-3} = -\frac{1}{x^2} — \frac{2}{x^3}$

Значения производной:

$f'(3) = -\frac{1}{3^2} — \frac{2}{3^3} = -\frac{3}{27} — \frac{2}{27} = -\frac{5}{27}$;

$f'(1) = -\frac{1}{1^2} — \frac{2}{1^3} = -1 — 2 = -3$;

Ответ: $-\frac{5}{27}; \, -3$.

2. $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 1$;

$f'(x) = (\sqrt{x})’ + \left( \frac{1}{x} \right)’ + (1)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2}$;

Значения производной:

$f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} — \frac{1}{3^2} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} — \frac{1}{9} = \frac{3\sqrt{3} — 2}{18}$;

$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} — \frac{1}{1^2} = \frac{1}{2} — 1 = -\frac{1}{2} = -0.5$;

Ответ: $\frac{3\sqrt{3} — 2}{18}; \, -0.5$.

3. $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} — \frac{2}{x^3}$;

$f'(x) = 3 \cdot \left( x^{-\frac{1}{2}} \right)’ — 2 \cdot (x^{-3})’$;

$f'(x) = 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot x^{-\frac{3}{2}} — 2 \cdot (-3) \cdot x^{-4} = \frac{6}{x^4} — \frac{3}{2\sqrt{x^3}}$;

Значения производной:

$f'(3) = \frac{6}{3^4} — \frac{3}{2\sqrt{3^3}} = \frac{6}{81} — \frac{3}{2\sqrt{27}} = \frac{2}{27} — \frac{3}{2\sqrt{27}} = \frac{4 — 3\sqrt{27}}{54}$;

$f'(1) = \frac{6}{1^4} — \frac{3}{2\sqrt{1^3}} = 6 — \frac{3}{2} = 6 — 1.5 = 4.5$;

Ответ: $\frac{4 — 3\sqrt{27}}{54}; \, 4.5$.

4. $f(x) = x^{\frac{3}{2}} — x^{-\frac{3}{2}}$;

$f'(x) = \left( x^{\frac{3}{2}} \right)’ — \left( x^{-\frac{3}{2}} \right)’$;

$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{5}{2}} = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{3}{2\sqrt{x^5}}$;

Значения производной:

$f'(3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{18\sqrt{3}} = \frac{81\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{54} = \frac{14\sqrt{3}}{9}$;

$f'(1) = \frac{3\sqrt{1}}{2} + \frac{3}{2 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{1}} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$;

Ответ: $\frac{14\sqrt{3}}{9}; \, 3$.

Задача 1

Функция:
$f(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$.

Чтобы найти производную данной функции, используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $\frac{1}{x}$ — это $-\frac{1}{x^2}$, так как $\left( x^{-1} \right)’ = -x^{-2}$.
• Производная от $\frac{1}{x^2}$ — это $-2 \cdot x^{-3}$, так как $\left( x^{-2} \right)’ = -2 \cdot x^{-3}$.

Таким образом, производная $f'(x)$ будет:

$$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ + \left( \frac{1}{x^2} \right)’ = -\frac{1}{x^2} — 2 \cdot x^{-3}$$

Или, записанное в более удобной форме:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2} — \frac{2}{x^3}$$

Шаг 2: Вычисление значений производной.

Теперь вычислим значения производной в точках $x = 3$ и $x = 1$.

• Для $x = 3$:

$$f'(3) = -\frac{1}{3^2} — \frac{2}{3^3} = -\frac{1}{9} — \frac{2}{27}$$

Найдем общий знаменатель для дробей, равный 27:

$$f'(3) = -\frac{3}{27} — \frac{2}{27} = -\frac{5}{27}$$

• Для $x = 1$:

$$f'(1) = -\frac{1}{1^2} — \frac{2}{1^3} = -1 — 2 = -3$$

Ответ:
Значения производной:
$f'(3) = -\frac{5}{27}$,
$f'(1) = -3$.

Задача 2

Функция:
$f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} + 1$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$.

Для нахождения производной функции воспользуемся следующими правилами дифференцирования:

• Производная от $\sqrt{x}$ (или $x^{\frac{1}{2}}$) — это $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
• Производная от $\frac{1}{x}$ (или $x^{-1}$) — это $-\frac{1}{x^2}$.
• Производная от константы $1$ — это $0$.

Таким образом, производная функции будет:

$$f'(x) = \left( \sqrt{x} \right)’ + \left( \frac{1}{x} \right)’ + (1)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2}$$

Шаг 2: Вычисление значений производной.

Теперь вычислим значения производной в точках $x = 3$ и $x = 1$.

• Для $x = 3$:

$$f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3}} — \frac{1}{3^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}} — \frac{1}{9}$$

Для более удобного выражения, $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ можно оставить в таком виде, а $\frac{1}{9}$ подставить в виде дроби:

$$f'(3) = \frac{\sqrt{3}}{6} — \frac{1}{9}$$

Найдем общий знаменатель для дробей, равный 18:

$$f'(3) = \frac{3\sqrt{3}}{18} — \frac{2}{18} = \frac{3\sqrt{3} — 2}{18}$$

• Для $x = 1$:

$$f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} — \frac{1}{1^2} = \frac{1}{2} — 1 = -\frac{1}{2} = -0.5$$

Ответ:
Значения производной:
$f'(3) = \frac{3\sqrt{3} — 2}{18}$,
$f'(1) = -0.5$.

Задача 3

Функция:
$f(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} — \frac{2}{x^3}$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$.

Для нахождения производной используем правила дифференцирования:

• Производная от $\frac{3}{\sqrt{x}}$ (или $3x^{-\frac{1}{2}}$) — это $3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}}$.
• Производная от $\frac{2}{x^3}$ (или $2x^{-3}$) — это $-2 \cdot (-3) \cdot x^{-4} = 6x^{-4}$.

Итак, производная будет:

$$f'(x) = -\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}} + 6 \cdot x^{-4}$$

Или в более удобной форме:

$$f'(x) = \frac{6}{x^4} — \frac{3}{2\sqrt{x^3}}$$

Шаг 2: Вычисление значений производной.

Теперь вычислим значения производной в точках $x = 3$ и $x = 1$.

• Для $x = 3$:

$$f'(3) = \frac{6}{3^4} — \frac{3}{2\sqrt{3^3}} = \frac{6}{81} — \frac{3}{2\sqrt{27}} = \frac{2}{27} — \frac{3}{2\sqrt{27}}$$

Преобразуем $\sqrt{27}$ в $3\sqrt{3}$, получаем:

$$f'(3) = \frac{2}{27} — \frac{3}{2 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{2}{27} — \frac{1}{2\sqrt{27}}$$

Таким образом, итоговое выражение для значения производной:

$$f'(3) = \frac{4 — 3\sqrt{27}}{54}$$

• Для $x = 1$:

$$f'(1) = \frac{6}{1^4} — \frac{3}{2\sqrt{1^3}} = 6 — \frac{3}{2} = 6 — 1.5 = 4.5$$

Ответ:
Значения производной:
$f'(3) = \frac{4 — 3\sqrt{27}}{54}$,
$f'(1) = 4.5$.

Задача 4

Функция:
$f(x) = x^{\frac{3}{2}} — x^{-\frac{3}{2}}$

Шаг 1: Нахождение производной функции $f(x)$.

Для нахождения производной функции применяем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^{\frac{3}{2}}$ — это $\frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}$.
• Производная от $x^{-\frac{3}{2}}$ — это $-\frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{5}{2}}$.

Итак, производная будет:

$$f'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2} \cdot x^{-\frac{5}{2}}$$

Или в более удобной форме:

$$f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{3}{2\sqrt{x^5}}$$

Шаг 2: Вычисление значений производной.

Теперь вычислим значения производной в точках $x = 3$ и $x = 1$.

• Для $x = 3$:

$$f'(3) = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{18\sqrt{3}}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$f'(3) = \frac{81\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{54} = \frac{14\sqrt{3}}{9}$$

• Для $x = 1$:

$$f'(1) = \frac{3\sqrt{1}}{2} + \frac{3}{2 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{1}} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$$

Ответ:
Значения производной:
$f'(3) = \frac{14\sqrt{3}}{9}$,
$f'(1) = 3$.