ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 696 Алимов — Подробные Ответы

Найти множество значений функции:

1. у = 2 sin2 х — cos 2х;
2. у = 1-8 cos2 х sin2 х;
3. у = (1+8cos2x)/4;
4. у = 10-9 sin2 Зх;
5. у = 1 — 2 |cos х|;
6. у = sinx + sin(x+пи/3).

$y = 2 \sin^2 x — \cos 2x$

$$y = 2 \sin^2 x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = 3 \sin^2 x — \cos^2 x =$$ $$= 3 \sin^2 x — (1 — \sin^2 x) = 4 \sin^2 x — 1;$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \sin x \leq 1;$$ $$0 \leq \sin^2 x \leq 1;$$ $$0 \leq 4 \sin^2 x \leq 4;$$ $$-1 \leq 4 \sin^2 x — 1 \leq 3;$$

Ответ: $E(y) = [-1; 3]$.

$y = 1 — 8 \cos^2 x \cdot \sin^2 x$

$$y = 1 — 2 \cdot 4 \sin^2 x \cdot \cos^2 x = 1 — 2 \sin^2 2x;$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \sin 2x \leq 1;$$ $$0 \leq \sin^2 2x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin^2 2x \leq 0;$$ $$-2 \leq -2 \sin^2 2x \leq 0;$$ $$-1 \leq 1 — 2 \sin^2 2x \leq 1;$$

Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.

$y = \frac{1 + 8 \cos^2 x}{4}$

Область значений функции:

$$-1 \leq \cos x \leq 1;$$ $$0 \leq \cos^2 x \leq 1;$$ $$0 \leq 8 \cos^2 x \leq 8;$$ $$1 \leq 1 + 8 \cos^2 x \leq 9;$$ $$\frac{1}{4} \leq \frac{1 + 8 \cos^2 x}{4} \leq \frac{9}{4};$$

Ответ: $E(y) = [0{,}25; 2{,}25]$.

$y = 10 — 9 \sin^2 3x$

Область значений функции:

$$-1 \leq \sin 3x \leq 1;$$ $$0 \leq \sin^2 3x \leq 1;$$ $$-1 \leq -\sin^2 3x \leq 0;$$ $$-9 \leq -9 \sin^2 3x \leq 0;$$ $$1 \leq 10 — 9 \sin^2 3x \leq 10;$$

Ответ: $E(y) = [1; 10]$.

$y = 1 — 2|\cos x|$

Область значений функции:

$$-1 \leq \cos x \leq 1;$$ $$0 \leq |\cos x| \leq 1;$$ $$-1 \leq -|\cos x| \leq 0;$$ $$-2 \leq -2|\cos x| \leq 0;$$ $$-1 \leq 1 — 2|\cos x| \leq 1;$$

Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.

$y = \sin x + \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

$$y = 2 \cdot \sin \frac{x + x + \frac{\pi}{3}}{2} \cdot \cos \frac{x — x — \frac{\pi}{3}}{2} =$$ $$= 2 \cdot \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) = 2 \cdot \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right);$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \leq 1;$$ $$-\sqrt{3} \leq \sqrt{3} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \leq \sqrt{3};$$

Ответ: $E(y) = [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

1) $y = 2 \sin^2 x — \cos 2x$

Шаг 1: Раскроем $\cos 2x$ через квадратные функции:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Шаг 2: Подставим в выражение $y$:

$$y = 2 \sin^2 x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = 2 \sin^2 x — \cos^2 x + \sin^2 x = 3 \sin^2 x — \cos^2 x$$

Шаг 3: Используем основное тождество:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = 1 — \sin^2 x$$

Шаг 4: Подставим в $y$:

$$y = 3 \sin^2 x — (1 — \sin^2 x) = 3 \sin^2 x — 1 + \sin^2 x = 4 \sin^2 x — 1$$

Шаг 5: Определяем область значений функции.

• Поскольку $\sin x \in [-1;1]$, то $\sin^2 x \in [0;1]$.
• Тогда:

$$y = 4 \sin^2 x — 1 \in [4 \cdot 0 — 1; 4 \cdot 1 — 1] = [-1;3]$$

Ответ:

$$E(y) = [-1;3]$$

2) $y = 1 — 8 \cos^2 x \cdot \sin^2 x$

Шаг 1: Используем формулу для синуса двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Шаг 2: Тогда

$$\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x$$

Шаг 3: Подставим в выражение:

$$y = 1 — 8 \cos^2 x \sin^2 x = 1 — 2 \cdot 4 \sin^2 x \cos^2 x = 1 — 2 \sin^2 2x$$

Шаг 4: Область значений $\sin 2x$:

$$\sin 2x \in [-1;1] \implies \sin^2 2x \in [0;1]$$

Шаг 5: Тогда

$$-2 \sin^2 2x \in [-2 \cdot 1; 0] = [-2;0]$$

Шаг 6: Значит

$$y = 1 — 2 \sin^2 2x \in [1 — 2; 1 — 0] = [-1;1]$$

Ответ:

$$E(y) = [-1;1]$$

3) $y = \frac{1 + 8 \cos^2 x}{4}$

Шаг 1: Область значений $\cos x$:

$$\cos x \in [-1;1] \implies \cos^2 x \in [0;1]$$

Шаг 2: Подставим в числитель:

$$1 + 8 \cos^2 x \in [1 + 0; 1 + 8] = [1;9]$$

Шаг 3: Делим на 4:

$$y \in \left[\frac{1}{4}; \frac{9}{4}\right] = [0{,}25; 2{,}25]$$

Ответ:

$$E(y) = [0{,}25; 2{,}25]$$

4) $y = 10 — 9 \sin^2 3x$

Шаг 1: Область значений $\sin 3x$:

$$\sin 3x \in [-1;1] \implies \sin^2 3x \in [0;1]$$

Шаг 2: Тогда

$$-9 \sin^2 3x \in [-9;0]$$

Шаг 3: Прибавляем 10:

$$y = 10 — 9 \sin^2 3x \in [10 — 9; 10 — 0] = [1;10]$$

Ответ:

$$E(y) = [1;10]$$

5) $y = 1 — 2|\cos x|$

Шаг 1: Область значений $\cos x$:

$$\cos x \in [-1;1]$$

Шаг 2: Значение модуля:

$$|\cos x| \in [0;1]$$

Шаг 3: Умножаем на $-2$:

$$-2|\cos x| \in [-2 \cdot 1; -2 \cdot 0] = [-2; 0]$$

Шаг 4: Прибавляем 1:

$$y = 1 — 2|\cos x| \in [1 — 2; 1 — 0] = [-1;1]$$

Ответ:

$$E(y) = [-1;1]$$

6) $y = \sin x + \sin \left( x + \frac{\pi}{3} \right)$

Шаг 1: Используем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A — B}{2}$$

Шаг 2: Подставляем $A = x$, $B = x + \frac{\pi}{3}$:

$$y = 2 \sin \frac{x + x + \frac{\pi}{3}}{2} \cdot \cos \frac{x — (x + \frac{\pi}{3})}{2} = 2 \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \cdot \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 3: Косинус чётная функция:

$$\cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 4: Тогда

$$y = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$$

Шаг 5: Область значений синуса:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) \in [-1;1]$$

Шаг 6: Умножаем на $\sqrt{3}$:

$$y \in [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$$

Ответ:

$$E(y) = [-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$$