ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 495 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

$$\frac{\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) — \cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) + \cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right)} =$$ $$= \frac{\sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos a + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin a — \left( \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin a \right)}{\sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos a + \cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin a + \left( \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \sin a \right)} =$$ $$= \frac{\frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a}{\frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a + \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a} = \frac{\sqrt{3} \sin a}{\cos a} = \sqrt{3} \operatorname{tg} a.$$

Ответ: $\sqrt{3} \operatorname{tg} a$.

Дано выражение:

$$\frac{\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) — \cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{6} + a \right) + \cos \left( \frac{\pi}{3} + a \right)}.$$

Шаг 1: Раскрываем синус и косинус суммы

Используем формулы:

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta,$$ $$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta — \sin \alpha \sin \beta.$$

Шаг 2: Применяем формулы к числителю и знаменателю

Числитель:

$$\sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) — \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \left(\sin \frac{\pi}{6} \cos a + \cos \frac{\pi}{6} \sin a\right) — \left(\cos \frac{\pi}{3} \cos a — \sin \frac{\pi}{3} \sin a\right).$$

Знаменатель:

$$\sin\left(\frac{\pi}{6} + a\right) + \cos\left(\frac{\pi}{3} + a\right) = \left(\sin \frac{\pi}{6} \cos a + \cos \frac{\pi}{6} \sin a\right) + \left(\cos \frac{\pi}{3} \cos a — \sin \frac{\pi}{3} \sin a\right).$$

Шаг 3: Подставляем известные значения тригонометрических функций

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 4: Подставляем числовые значения

Числитель:

$$\frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \left(\frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a\right) = \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a.$$

Шаг 5: Упрощаем числитель

$$\left(\frac{1}{2} \cos a — \frac{1}{2} \cos a\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a\right) = 0 + \sqrt{3} \sin a = \sqrt{3} \sin a.$$

Шаг 6: Подставляем числовые значения в знаменатель

$$\frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a + \frac{1}{2} \cos a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a = \frac{1}{2} \cos a + \frac{1}{2} \cos a + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a.$$

Шаг 7: Упрощаем знаменатель

$$\left(\frac{1}{2} \cos a + \frac{1}{2} \cos a\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin a — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin a\right) = \cos a + 0 = \cos a.$$

Шаг 8: Итоговое выражение

$$\frac{\sqrt{3} \sin a}{\cos a} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin a}{\cos a} = \sqrt{3} \tan a.$$

Ответ: $\sqrt{3}\mathrm{tg}a$