ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 508 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. sin 2а = (sin а + cos а)2 — 1;
2. (sin а — cos а)2 = 1 — sin 2а;
3. cos4 а — sin4 а = cos 2а;
4. 2 cos2 a — cos 2a = 1.

1.

$$\sin 2a = (\sin a + \cos a)^2 — 1;$$ $$\sin 2a = \sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a — 1;$$ $$\sin 2a = 1 + \sin 2a — 1;$$ $$\sin 2a = \sin 2a;$$

Тождество доказано.

2.

$$(\sin a — \cos a)^2 = 1 — \sin 2a;$$ $$\sin^2 a + \cos^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a = 1 — \sin 2a;$$ $$1 — \sin 2a = 1 — \sin 2a;$$

Тождество доказано.

3.

$$\cos^4 a — \sin^4 a = \cos 2a;$$ $$(\cos^2 a — \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a) = \cos 2a;$$ $$(\cos 2a) \cdot 1 = \cos 2a;$$ $$\cos 2a = \cos 2a;$$

Тождество доказано.

4.

$$2 \cos^2 a — \cos 2a = 1;$$ $$2 \cos^2 a — (\cos^2 a — \sin^2 a) = 1;$$ $$2 \cos^2 a — \cos^2 a + \sin^2 a = 1;$$ $$\cos^2 a + \sin^2 a = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

1) Доказать тождество:

$$\sin 2a = (\sin a + \cos a)^2 — 1$$

Решение:

Запишем правую часть:

$$(\sin a + \cos a)^2 — 1$$

Раскроем квадрат суммы:

$$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

Подставим это в выражение:

$$\sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a — 1$$

Известно, что:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Тогда:

$$1 + 2 \sin a \cos a — 1 = 2 \sin a \cos a$$

Из формулы двойного угла для синуса:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

Следовательно:

$$(\sin a + \cos a)^2 — 1 = 2 \sin a \cos a = \sin 2a$$

Вывод:
Левая часть равна правой, т.е. тождество верно.

2) Доказать тождество:

$$(\sin a — \cos a)^2 = 1 — \sin 2a$$

Решение:

Запишем левую часть:

$$(\sin a — \cos a)^2$$

Раскроем квадрат разности:

$$\sin^2 a — 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

Используем тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Тогда выражение примет вид:

$$1 — 2 \sin a \cos a$$

Воспользуемся формулой двойного угла:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

Подставим в выражение:

$$1 — \sin 2a$$

Вывод:
Левая часть равна правой, тождество доказано.

3) Доказать тождество:

$$\cos^4 a — \sin^4 a = \cos 2a$$

Решение:

Заметим, что разность четвертых степеней можно представить как разность квадратов:

$$\cos^4 a — \sin^4 a = (\cos^2 a)^2 — (\sin^2 a)^2 = (\cos^2 a — \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a)$$

Известно, что:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Следовательно:

$$(\cos^2 a — \sin^2 a) \times 1 = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Формула двойного угла для косинуса:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Следовательно:

$$\cos^4 a — \sin^4 a = \cos 2a$$

Вывод:
Тождество доказано.

4) Доказать тождество:

$$2 \cos^2 a — \cos 2a = 1$$

Решение:

Подставим выражение для $\cos 2a$:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Тогда выражение станет:

$$2 \cos^2 a — (\cos^2 a — \sin^2 a) = 1$$

Раскроем скобки:

$$2 \cos^2 a — \cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Упростим:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Это классическое тригонометрическое тождество.

Вывод:
Исходное равенство свелось к известному тождеству, значит оно верно.