ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 792 Алимов — Подробные Ответы

1. корень 3 степени (2x+7);
2. корень 4 степени (7-3x);
3. корень 4 степени 3x;
4. корень 3 степени 5x.

1. $f(x) = \sqrt[3]{2x + 7} = (2x + 7)^{\frac{1}{3}}$;
   $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (2x + 7)^{1 — \frac{1}{3}} = \frac{2}{3} \cdot (2x + 7)^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{(2x + 7)^2}}$;
2. $f(x) = \sqrt[4]{7 — 3x} = (7 — 3x)^{\frac{1}{4}}$;
   $f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (-3) \cdot (7 — 3x)^{\frac{1}{4} — 1} = -\frac{3}{4} \cdot (7 — 3x)^{-\frac{3}{4}} = -\frac{3}{4\sqrt[4]{(7 — 3x)^3}}$;
3. $f(x) = \sqrt[4]{3x} = (3x)^{\frac{1}{4}}$;
   $f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot (3x)^{\frac{1}{4} — 1} = \frac{3}{4} \cdot (3x)^{-\frac{3}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{(3x)^3}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{27x^3}}$;
4. $f(x) = \sqrt[3]{5x} = (5x)^{\frac{1}{3}}$;
   $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot (5x)^{\frac{1}{3} — 1} = \frac{5}{3} \cdot (5x)^{-\frac{2}{3}} = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x)^2}} = \frac{5}{3\sqrt[3]{25x^2}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Пример 1:

Дано: $f(x) = \sqrt[3]{2x + 7} = (2x + 7)^{\frac{1}{3}}$

Нам нужно найти производную функции $f(x)$. Это степенная функция с составной частью внутри. Для вычисления производной используем цепное правило.

Шаг 1: Определяем внешнюю и внутреннюю функцию.

• Внешняя функция $g(u) = u^{\frac{1}{3}}$, где $u = 2x + 7$.
• Внутренняя функция $u(x) = 2x + 7$.

Шаг 2: Применяем цепное правило. Если $f(x) = g(u(x))$, то производная будет:

$$f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$$

• Производная внешней функции $g(u) = u^{\frac{1}{3}}$ будет:

$$g'(u) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} — 1} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}$$

• Производная внутренней функции $u(x) = 2x + 7$ будет:

$$u'(x) = 2$$

Шаг 3: Подставляем внутреннюю и внешнюю производные в цепное правило:

$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot (2x + 7)^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot (2x + 7)^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 4: Для удобства записи можно представить $(2x + 7)^{-\frac{2}{3}}$ как дробь:

$$f'(x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{(2x + 7)^2}}$$

Ответ: производная функции $f(x) = \sqrt[3]{2x + 7}$ равна $f'(x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{(2x + 7)^2}}$.

Пример 2:

Дано: $f(x) = \sqrt[4]{7 — 3x} = (7 — 3x)^{\frac{1}{4}}$

Шаг 1: Определяем внешнюю и внутреннюю функцию.

• Внешняя функция $g(u) = u^{\frac{1}{4}}$, где $u = 7 — 3x$.
• Внутренняя функция $u(x) = 7 — 3x$.

Шаг 2: Применяем цепное правило.

• Производная внешней функции $g(u) = u^{\frac{1}{4}}$:

$$g'(u) = \frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} — 1} = \frac{1}{4} u^{-\frac{3}{4}}$$

• Производная внутренней функции $u(x) = 7 — 3x$:

$$u'(x) = -3$$

Шаг 3: Подставляем в цепное правило:

$$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot (-3) \cdot (7 — 3x)^{-\frac{3}{4}} = -\frac{3}{4} \cdot (7 — 3x)^{-\frac{3}{4}}$$

Шаг 4: Для удобства записи можем выразить результат как дробь:

$$f'(x) = -\frac{3}{4 \sqrt[4]{(7 — 3x)^3}}$$

Ответ: производная функции $f(x) = \sqrt[4]{7 — 3x}$ равна $f'(x) = -\frac{3}{4 \sqrt[4]{(7 — 3x)^3}}$.

Пример 3:

Дано: $f(x) = \sqrt[4]{3x} = (3x)^{\frac{1}{4}}$

Шаг 1: Определяем внешнюю и внутреннюю функцию.

• Внешняя функция $g(u) = u^{\frac{1}{4}}$, где $u = 3x$.
• Внутренняя функция $u(x) = 3x$.

Шаг 2: Применяем цепное правило.

• Производная внешней функции $g(u) = u^{\frac{1}{4}}$:

$$g'(u) = \frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} — 1} = \frac{1}{4} u^{-\frac{3}{4}}$$

• Производная внутренней функции $u(x) = 3x$:

$$u'(x) = 3$$

Шаг 3: Подставляем в цепное правило:

$$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot (3x)^{-\frac{3}{4}} = \frac{3}{4} \cdot (3x)^{-\frac{3}{4}}$$

Шаг 4: Представляем результат в виде дроби:

$$f'(x) = \frac{3}{4 \sqrt[4]{(3x)^3}} = \frac{3}{4 \sqrt[4]{27x^3}}$$

Ответ: производная функции $f(x) = \sqrt[4]{3x}$ равна $f'(x) = \frac{3}{4 \sqrt[4]{27x^3}}$.

Пример 4:

Дано: $f(x) = \sqrt[3]{5x} = (5x)^{\frac{1}{3}}$

Шаг 1: Определяем внешнюю и внутреннюю функцию.

• Внешняя функция $g(u) = u^{\frac{1}{3}}$, где $u = 5x$.
• Внутренняя функция $u(x) = 5x$.

Шаг 2: Применяем цепное правило.

• Производная внешней функции $g(u) = u^{\frac{1}{3}}$:

$$g'(u) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} — 1} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}$$

• Производная внутренней функции $u(x) = 5x$:

$$u'(x) = 5$$

Шаг 3: Подставляем в цепное правило:

$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot (5x)^{-\frac{2}{3}} = \frac{5}{3} \cdot (5x)^{-\frac{2}{3}}$$

Шаг 4: Представляем результат в виде дроби:

$$f'(x) = \frac{5}{3 \sqrt[3]{(5x)^2}} = \frac{5}{3 \sqrt[3]{25x^2}} = \frac{\sqrt[3]{5}}{3 \sqrt[3]{x^2}}$$

Ответ: производная функции $f(x) = \sqrt[3]{5x}$ равна $f'(x) = \frac{\sqrt[3]{5}}{3 \sqrt[3]{x^2}}$.

Итоговые выводы:

Мы использовали цепное правило для вычисления производных составных функций. Для каждого примера:

• Мы выделяли внешнюю и внутреннюю функцию.
• Применяли цепное правило, чтобы вычислить производную.
• Упростили результат, преобразовав степени и корни в удобные для работы выражения.

1. $f(x) = (2x + 7)^{\frac{1}{3}}$ => $f'(x) = \frac{2}{3 \sqrt[3]{(2x + 7)^2}}$
2. $f(x) = (7 — 3x)^{\frac{1}{4}}$ => $f'(x) = -\frac{3}{4 \sqrt[4]{(7 — 3x)^3}}$
3. $f(x) = (3x)^{\frac{1}{4}}$ => $f'(x) = \frac{3}{4 \sqrt[4]{27x^3}}$
4. $f(x) = (5x)^{\frac{1}{3}}$ => $f'(x) = \frac{\sqrt[3]{5}}{3 \sqrt[3]{x^2}}$