ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 268 Алимов — Подробные Ответы

1. log2(1/2);
2. log2(1/8);
3. log2(корень 2);
4. log2(1/корень 4 степени 2).

1. $\log_{2} \frac{1}{2} = \log_{2} 2^{-1} = -1$;
2. $\log_{2} \frac{1}{8} = \log_{2} \frac{1}{2^{3}} = \log_{2} 2^{-3} = -3$;
3. $\log_{2} \sqrt{2} = \log_{2} 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} = 0,5$;
4. $\log_{2} \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \log_{2} \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \log_{2} 2^{-\frac{1}{4}} = -\frac{1}{4} = -0,25$;

1) $\log_{2} \frac{1}{2} = \log_{2} 2^{-1} = -1$

Шаг 1. Представим дробь $\frac{1}{2}$ как степень двойки:

$$\frac{1}{2} = 2^{-1}$$

Шаг 2. Подставим это в логарифм:

$$\log_2 \left(\frac{1}{2}\right) = \log_2 (2^{-1})$$

Шаг 3. Используем основное логарифмическое тождество:

$$\log_b (b^x) = x$$

Значит:

$$\log_2 (2^{-1}) = -1$$

✅ Ответ: $\log_{2} \frac{1}{2} = -1$

2) $\log_{2} \frac{1}{8} = \log_{2} \frac{1}{2^{3}} = \log_{2} 2^{-3} = -3$

Шаг 1. Выразим 8 как степень двойки:

$$8 = 2^3 \Rightarrow \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_2 \left(\frac{1}{8}\right) = \log_2 (2^{-3})$$

Шаг 3. Применим свойство логарифма:

$$\log_2 (2^{-3}) = -3$$

✅ Ответ: $\log_{2} \frac{1}{8} = -3$

3) $\log_{2} \sqrt{2} = \log_{2} 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} = 0,5$

Шаг 1. Вспомним, что квадратный корень — это степень $\frac{1}{2}$:

$$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_2 \sqrt{2} = \log_2 (2^{\frac{1}{2}})$$

Шаг 3. Применим логарифмическое тождество:

$$\log_2 (2^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$$

Шаг 4. Преобразуем в десятичную дробь:

$$\frac{1}{2} = 0{,}5$$

✅ Ответ: $\log_{2} \sqrt{2} = 0{,}5$

4) $\log_{2} \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \log_{2} \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \log_{2} 2^{-\frac{1}{4}} = -\frac{1}{4} = -0,25$

Шаг 1. Корень четвёртой степени — это степень $\frac{1}{4}$:

$$\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = 2^{-\frac{1}{4}}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\log_2 \left(\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\right) = \log_2 (2^{-\frac{1}{4}})$$

Шаг 3. Применим свойство:

$$\log_2 (2^{-\frac{1}{4}}) = -\frac{1}{4}$$

Шаг 4. Переведём в десятичную дробь:

$$-\frac{1}{4} = -0{,}25$$

✅ Ответ: $\log_{2} \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = -0{,}25$

Итоговое подробное решение:

1. $\log_{2} \frac{1}{2} = \log_{2} (2^{-1}) = -1$
2. $\log_{2} \frac{1}{8} = \log_{2} (2^{-3}) = -3$
3. $\log_{2} \sqrt{2} = \log_{2} (2^{1/2}) = \frac{1}{2} = 0{,}5$
4. $\log_{2} \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \log_{2} (2^{-1/4}) = -\frac{1}{4} = -0{,}25$