ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 687 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях а уравнение sin4 х + cos4 х = а имеет корни? Найти эти корни.

$$\sin^4 x + \cos^4 x = a;$$ $$\sin^4 x + \cos^4 x + 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x = a;$$ $$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x = a;$$ $$1 — 2 \sin^2 x \cdot \cos^2 x = a;$$ $$1 — a = \frac{1}{2} \cdot 4 \sin^2 x \cdot \cos^2 x;$$ $$\frac{1}{2} \sin^2 2x = 1 — a;$$ $$\sin^2 2x = 2 — 2a;$$ $$\frac{1 — \cos 4x}{2} = 2 — 2a;$$ $$1 — \cos 4x = 4 — 4a;$$ $$-\cos 4x = 3 — 4a;$$ $$\cos 4x = 4a — 3;$$ $$4x = \pm \arccos(4a — 3) + 2\pi n;$$ $$x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a — 3) + \frac{\pi n}{2};$$

Допустимые значения числа $a$:

$$-1 \leq \cos 4x \leq 1;$$ $$-1 \leq 4a — 3 \leq 1;$$ $$2 \leq 4a \leq 4;$$ $$\frac{1}{2} \leq a \leq 1;$$

Ответ:

$$\boxed{ \frac{1}{2} \leq a \leq 1; \quad x = \pm \frac{1}{4} \arccos(4a — 3) + \frac{\pi n}{2} }$$

Дано уравнение:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = a,$$

где $a$ — некоторое число.

Шаг 1. Разложение выражения с четвёртыми степенями

Воспользуемся приёмом введения и вычитания одного и того же слагаемого, чтобы применить известные формулы:

$$\sin^4 x + \cos^4 x = \sin^4 x + \cos^4 x + 2 \sin^2 x \cos^2 x — 2 \sin^2 x \cos^2 x.$$

Это равносильно

$$(\sin^4 x + \cos^4 x + 2 \sin^2 x \cos^2 x) — 2 \sin^2 x \cos^2 x.$$

Шаг 2. Используем формулу квадрата суммы:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1,$$

поэтому

$$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2 = 1,$$

а

$$\sin^4 x + \cos^4 x + 2 \sin^2 x \cos^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1.$$

Таким образом

$$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 — 2 \sin^2 x \cos^2 x.$$

Шаг 3. Записываем исходное уравнение с подстановкой:

$$1 — 2 \sin^2 x \cos^2 x = a.$$

Шаг 4. Переносим $a$ в левую часть:

$$1 — a = 2 \sin^2 x \cos^2 x.$$

Шаг 5. Выражаем произведение $\sin^2 x \cos^2 x$ через $\sin 2x$:

Из формулы двойного угла

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x,$$

значит

$$\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x,$$

следовательно

$$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x.$$

Шаг 6. Подставляем в уравнение:

$$1 — a = 2 \cdot \frac{1}{4} \sin^2 2x = \frac{1}{2} \sin^2 2x.$$

Шаг 7. Умножаем обе части на 2:

$$2(1 — a) = \sin^2 2x,$$

то есть

$$\sin^2 2x = 2 — 2a.$$

Шаг 8. Используем формулу косинуса двойного угла для $\sin^2 \theta$:

$$\sin^2 \theta = \frac{1 — \cos 2\theta}{2}.$$

Заменяем $\theta = 2x$:

$$\sin^2 2x = \frac{1 — \cos 4x}{2}.$$

Шаг 9. Подставляем в уравнение:

$$\frac{1 — \cos 4x}{2} = 2 — 2a.$$

Шаг 10. Умножаем обе части на 2:

$$1 — \cos 4x = 4 — 4a.$$

Шаг 11. Переносим $1$ в правую часть:

$$-\cos 4x = 3 — 4a,$$

откуда

$$\cos 4x = 4a — 3.$$

Шаг 12. Решаем уравнение для $x$:

Общее решение уравнения

$$\cos \alpha = b,$$

где $-1 \leq b \leq 1$, имеет вид

$$\alpha = \pm \arccos b + 2 \pi n.$$

Подставляем $\alpha = 4x$, $b = 4a — 3$:

$$4x = \pm \arccos (4a — 3) + 2 \pi n.$$

Шаг 13. Выражаем $x$:

$$x = \pm \frac{1}{4} \arccos (4a — 3) + \frac{\pi n}{2}.$$

Шаг 14. Определяем допустимый диапазон для $a$

Так как

$$\cos 4x \in [-1, 1],$$

то

$$-1 \leq 4a — 3 \leq 1.$$

Добавляем 3 ко всем частям неравенства:

$$2 \leq 4a \leq 4.$$

Делим на 4:

$$\frac{1}{2} \leq a \leq 1.$$

Итог:

Допустимые значения числа $a$:

$$\boxed{ \frac{1}{2} \leq a \leq 1. }$$

Общий вид решения $x$:

$$\boxed{ x = \pm \frac{1}{4} \arccos (4a — 3) + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}. }$$