ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1299 Алимов — Подробные Ответы

1. $$\frac{1-{\mathrm{tg}}^2(\frac{\pi }{4}-a)}{1+{\mathrm{tg}}^2(\frac{\pi }{4}-a)}$$
2. $$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}$$

1)

$$\frac{1 — \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{1 + \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)} = \left( 1 — \frac{\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)} \right) : \left( 1 + \frac{\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)} \right) =$$ $$= \frac{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) — \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)} : \frac{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)} =$$ $$= \frac{\cos \left( \frac{2\pi}{4} — 2a \right) \cdot \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)} \cdot \frac{\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{1} = \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right) = \sin 2a;$$

Ответ: $\sin 2a$.

2)

$$\frac{\sin 2a}{1 + \cos 2a} = \frac{2 \sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a + \sin^2 a + \cos^2 a — \sin^2 a} = \frac{2 \sin a \cdot \cos a}{2 \cos^2 a} =$$ $$= \frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{tg} a.$$

Ответ: $\operatorname{tg} a$.

1) Решение:

Задано выражение:

$$\frac{1 — \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{1 + \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}$$

Шаг 1. Используем тригонометрическое тождество для тангенса двойного угла:

$$\frac{1 — \operatorname{tg}^2 x}{1 + \operatorname{tg}^2 x} = \cos(2x)$$

Подставляем $x = \frac{\pi}{4} — a$:

$$\frac{1 — \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)}{1 + \operatorname{tg}^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)} = \cos \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) \right)$$

Шаг 2. Упростим выражение в аргументе косинуса:

$$2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) = \frac{\pi}{2} — 2a$$

Следовательно, мы получаем:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right)$$

Шаг 3. Используем известное тригонометрическое тождество для косинуса:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — x \right) = \sin x$$

Подставляем $x = 2a$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — 2a \right) = \sin 2a$$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$\sin 2a$$

Ответ: $\sin 2a$.

2) Решение:

Задано выражение:

$$\frac{\sin 2a}{1 + \cos 2a}$$

Шаг 1. Используем формулу для синуса и косинуса удвоенного угла:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$ $$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Подставим эти выражения в исходное выражение:

$$\frac{\sin 2a}{1 + \cos 2a} = \frac{2 \sin a \cos a}{1 + \cos^2 a — \sin^2 a}$$

Шаг 2. Упростим выражение в знаменателе:

$$1 + \cos^2 a — \sin^2 a = \cos^2 a + \sin^2 a + \cos^2 a — \sin^2 a = 2 \cos^2 a$$

Шаг 3. Теперь у нас получается:

$$\frac{2 \sin a \cos a}{2 \cos^2 a}$$

Шаг 4. Упростим дробь:

$$= \frac{\sin a}{\cos a}$$

Шаг 5. Видим, что это выражение является определением тангенса:

$$\frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{tg} a$$

Ответ: $\operatorname{tg} a$.

Итоговое решение:

1. Для первого выражения мы использовали тождество для тангенса двойного угла, что привело к результату $\sin 2a$.
2. Во втором выражении мы преобразовали числитель и знаменатель, используя стандартные тригонометрические тождества, и в конечном итоге получили $\operatorname{tg} a$.