ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1479 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции у = ах2 + bх + с, если у (-2) = 15, у (3) = 0, у (0) = -3.

Дана функция: $y=a{x}^2+bx+c$.

1. Условие $y(0)=-3$:$$y(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=-3$$$$c=-3$$
2. Условие $y(3)=0$:$$y(3)=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=0$$$$9a+3b-3=0$$$$3a+b-1=0$$$$b=1-3a$$
3. Условие $y(-2)=15$:$$y(-2)=a\cdot (-2{)}^2+b\cdot (-2)+c=15$$$$4a-2b-3=15$$

   Подставим $b=1-3a$:

   $$4a-2(1-3a)-3=15$$$$4a-2+6a-3=15$$$$10a-5=15$$$$10a=20$$$$a=2$$

   Теперь найдем $b$:

   $$b=1-3a=1-3\cdot 2=1-6=-5$$

4. Подставим известные параметры $a=2$, $b=-5$, $c=-3$:$$y=2x^2-5x-3$$

Координаты вершины параболы:

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2\cdot 2}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$$$y\left(\frac{5}{4}\right)=2\cdot {\left(\frac{5}{4}\right)}^2-5\cdot \frac{5}{4}-3$$$$=2\cdot \frac{25}{16}-5\cdot \frac{5}{4}-3$$$$=\frac{50}{16}-\frac{25}{4}-3$$$$=\frac{25}{8}-\frac{50}{8}-3$$$$=-\frac{25}{8}-3$$$$=-\frac{25}{8}-\frac{24}{8}$$$$=-\frac{49}{8}=-6\frac{1}{8}$$

Координаты некоторых точек:

$$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& -1& 0& 1& 2& 3& 4\\ y& 4& -3& -6& -5& 0& 9\end{array}}$$

График функции:

Дана квадратичная функция $y=a{x}^2+bx+c$, где $a$, $b$, и $c$ — неизвестные коэффициенты. Необходимо найти параметры $a$, $b$, и $c$ с использованием заданных условий и затем построить график функции.

Шаг 1: Используем первое условие $y(0)=-3$

Для нахождения значения $c$ подставляем $x=0$ в уравнение функции. При этом $y(0)=-3$, и функция примет вид:

$$y(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=-3$$

Это упрощается до:

$$c=-3$$

Таким образом, $c=-3$.

Шаг 2: Используем второе условие $y(3)=0$

Теперь, когда мы знаем $c$, подставим $x=3$ в уравнение функции. По условию, $y(3)=0$:

$$y(3)=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c=0$$

Подставляем $c=-3$:

$$9a+3b-3=0$$

Упростим это уравнение:

$$3a+b-1=0$$

Теперь выразим $b$ через $a$:

$$b=1-3a$$

Таким образом, мы нашли зависимость $b=1-3a$.

Шаг 3: Используем третье условие $y(-2)=15$

Теперь подставим $x=-2$ в уравнение функции, по условию $y(-2)=15$:

$$y(-2)=a\cdot (-2{)}^2+b\cdot (-2)+c=15$$

Подставляем $c=-3$ и выражение для $b=1-3a$:

$$y(-2)=a\cdot 4+(1-3a)\cdot (-2)-3=15$$

Раскроем скобки:

$$4a-2(1-3a)-3=15$$$$4a-2+6a-3=15$$

Упростим:

$$10a-5=15$$

Переносим 5 на правую сторону:

$$10a=20$$

Делим обе стороны на 10:

$$a=2$$

Теперь, когда мы нашли $a=2$, подставим это значение в выражение для $b$:

$$b=1-3\cdot 2=1-6=-5$$

Шаг 4: Подставим найденные значения в уравнение

Теперь, когда мы нашли значения $a=2$, $b=-5$ и $c=-3$, можем подставить их в исходное уравнение функции:

$$y=2x^2-5x-3$$

Таким образом, уравнение функции имеет вид:

$$y=2x^2-5x-3$$

Шаг 5: Найдем координаты вершины параболы

Вершина параболы для квадратичной функции $y=a{x}^2+bx+c$ находится по формуле для абсциссы вершины:

$$x=-\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a=2$ и $b=-5$:

$$x=-\frac{-5}{2\cdot 2}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$$

Теперь найдем ординату вершины, подставив $x=\frac{5}{4}$ в уравнение функции:

$$y\left(\frac{5}{4}\right)=2\cdot {\left(\frac{5}{4}\right)}^2-5\cdot \frac{5}{4}-3$$

Посчитаем каждый элемент:

$$y\left(\frac{5}{4}\right)=2\cdot \frac{25}{16}-5\cdot \frac{5}{4}-3$$$$=\frac{50}{16}-\frac{25}{4}-3$$

Приведем все дроби к общему знаменателю:

$$=\frac{50}{16}-\frac{100}{16}-\frac{48}{16}$$$$=\frac{50-100-48}{16}=\frac{-98}{16}=-\frac{49}{8}$$

Итак, координаты вершины параболы:

$$x=1\frac{1}{4},y=-6\frac{1}{8}$$

Шаг 6: Найдем координаты некоторых точек функции

Теперь найдем значения функции в нескольких точках для построения графика:

• Для $x=-1$:

$$y(-1)=2\cdot (-1{)}^2-5\cdot (-1)-3=2+5-3=4$$

• Для $x=0$:

$$y(0)=2\cdot 0^2-5\cdot 0-3=-3$$

• Для $x=1$:

$$y(1)=2\cdot 1^2-5\cdot 1-3=2-5-3=-6$$

• Для $x=2$:

$$y(2)=2\cdot 2^2-5\cdot 2-3=8-10-3=-5$$

• Для $x=3$:

$$y(3)=2\cdot 3^2-5\cdot 3-3=18-15-3=0$$

• Для $x=4$:

$$y(4)=2\cdot 4^2-5\cdot 4-3=32-20-3=9$$

Таким образом, координаты точек для графика:

$$\overline{)\begin{array}{ccccccc}x& -1& 0& 1& 2& 3& 4\\ y& 4& -3& -6& -5& 0& 9\end{array}}$$

Шаг 7: Построение графика функции