ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1593 Алимов — Подробные Ответы

Через точку графика функции у = корень х с абсциссой а, где 1/2 < = < а < = 2, проведена касательная к этому графику. Найти значение а, при котором площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью Ох и прямой х = 3, будет наименьшей, и вычислить эту наименьшую площадь.

Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ и точка с абсциссой $\frac{1}{2} \leq a \leq 2$.

Уравнение касательной в точке $a$:

$$f'(a) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \quad \text{и} \quad f(a) = \sqrt{a};$$ $$y = \sqrt{a} + \frac{1}{2\sqrt{a}}(x — a) = \sqrt{a} + \frac{x}{2\sqrt{a}} — \frac{a}{2\sqrt{a}} = \frac{2a + x — a}{2\sqrt{a}} = \frac{a + x}{2\sqrt{a}};$$

Пересечение касательной с прямой $x = 3$:

$$y = \frac{a + 3}{2\sqrt{a}};$$

Длина вертикального катета:

$$b_1 = \frac{a + 3}{2\sqrt{a}};$$

Пересечение касательной с осью $Ox$ ( $y = 0$ ):

$$\frac{a + x}{2\sqrt{a}} = 0;$$ $$a + x = 0, \quad \text{отсюда } x = -a;$$

Длина горизонтального катета:

$$b_2 = |-a| + 3 = a + 3;$$

Площадь искомого треугольника:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot b_1 \cdot b_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a + 3}{2\sqrt{a}} \cdot (a + 3) = \frac{(a + 3)^2}{4\sqrt{a}};$$ $$S(a) = \frac{a^2 + 6a + 9}{4a^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{4} \cdot \left( a^{\frac{3}{2}} + 6a^{\frac{1}{2}} + 9a^{-\frac{1}{2}} \right);$$

Производная функции:

$$S'(a) = \frac{1}{4} \cdot \left( \left( a^{\frac{3}{2}} \right)’ + 6 \left( \sqrt{a} \right)’ + 9 \left( a^{-\frac{1}{2}} \right)’ \right);$$ $$S'(a) = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{3}{2} a^{\frac{1}{2}} + 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{a}} + 9 \cdot \left( -\frac{1}{2} a^{-\frac{3}{2}} \right) \right) = \frac{3}{8} \cdot \left( \sqrt{a} + \frac{2}{\sqrt{a}} — \frac{3}{a\sqrt{a}} \right);$$

Промежуток возрастания:

$$\sqrt{a} + \frac{2}{\sqrt{a}} — \frac{3}{a\sqrt{a}} > 0 \quad | \cdot a\sqrt{a};$$ $$a^2 + 2a — 3 > 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \quad \text{тогда:}$$ $$a_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1;$$ $$(a + 3)(a — 1) > 0;$$ $$a < -3 \quad \text{и} \quad a > 1;$$

Искомые значения:

$$a = 1 \quad \text{— точка минимума; }$$ $$S(1) = \frac{(1 + 3)^2}{4\sqrt{1}} = \frac{4^2}{4} = 4;$$

Ответ: $S = 4$ при $a = 1$.

Дана функция:

$$f(x) = \sqrt{x}$$

и точка с абсциссой $\frac{1}{2} \leq a \leq 2$.

Необходимо найти уравнение касательной в точке $a$, а также длину катетов и площадь треугольника, ограниченного касательной и осями, и найти точку минимума этой площади.

Шаг 1: Уравнение касательной в точке $a$

Для того чтобы найти уравнение касательной в точке $a$, нам нужно использовать производную функции и формулу для уравнения касательной.

Производная функции

Нам дана функция:

$$f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}.$$

Для нахождения производной функции $f(x)$, воспользуемся стандартным правилом дифференцирования для степенной функции:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Уравнение касательной в точке $a$

Теперь, зная производную, можем записать уравнение касательной к графику функции в точке $a$. Уравнение касательной имеет вид:

$$y — f(a) = f'(a)(x — a),$$

где $f(a) = \sqrt{a}$ и $f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}$.

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$$y — \sqrt{a} = \frac{1}{2\sqrt{a}}(x — a).$$

Теперь упростим это уравнение:

$$y = \sqrt{a} + \frac{1}{2\sqrt{a}}(x — a).$$

Раскроем скобки:

$$y = \sqrt{a} + \frac{x}{2\sqrt{a}} — \frac{a}{2\sqrt{a}}.$$

Итак, уравнение касательной в точке $a$ имеет вид:

$$y = \frac{a + x}{2\sqrt{a}}.$$

Шаг 2: Пересечение касательной с прямой $x = 3$

Чтобы найти пересечение касательной с прямой $x = 3$, подставим $x = 3$ в уравнение касательной:

$$y = \frac{a + 3}{2\sqrt{a}}.$$

Это дает нам значение $y$ при $x = 3$, которое будет равно длине вертикального катета.

Длина вертикального катета:

$$b_1 = \frac{a + 3}{2\sqrt{a}}.$$

Шаг 3: Пересечение касательной с осью $Ox$ (при $y = 0$)

Чтобы найти пересечение касательной с осью $Ox$ (когда $y = 0$), подставим $y = 0$ в уравнение касательной:

$$0 = \frac{a + x}{2\sqrt{a}}.$$

Умножим обе части на $2\sqrt{a}$, чтобы избавиться от дроби:

$$0 = a + x.$$

Отсюда $x = -a$.

Длина горизонтального катета:
Горизонтальный катет — это расстояние между точкой $x = -a$ и осью $x$, то есть:

$$b_2 = |-a| + 3 = a + 3.$$

Шаг 4: Площадь треугольника

Площадь треугольника, ограниченного касательной и осями, можно найти по формуле для площади треугольника:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot b_1 \cdot b_2.$$

Подставим выражения для $b_1$ и $b_2$:

$$S(a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a + 3}{2\sqrt{a}} \cdot (a + 3) = \frac{(a + 3)^2}{4\sqrt{a}}.$$

Раскроем квадрат и упростим:

$$S(a) = \frac{a^2 + 6a + 9}{4\sqrt{a}} = \frac{1}{4} \cdot \left( a^{\frac{3}{2}} + 6a^{\frac{1}{2}} + 9a^{-\frac{1}{2}} \right).$$

Шаг 5: Производная площади

Чтобы найти точку минимума площади, найдем производную $S'(a)$. Для этого дифференцируем каждый член в выражении для площади $S(a)$.

Производная от $S(a)$ будет равна:

$$S'(a) = \frac{1}{4} \cdot \left( \left( a^{\frac{3}{2}} \right)’ + 6 \left( \sqrt{a} \right)’ + 9 \left( a^{-\frac{1}{2}} \right)’ \right).$$

Вычислим производные каждого из членов:

1. $\left( a^{\frac{3}{2}} \right)’ = \frac{3}{2} a^{\frac{1}{2}}$,
2. $\left( \sqrt{a} \right)’ = \frac{1}{2\sqrt{a}}$,
3. $\left( a^{-\frac{1}{2}} \right)’ = -\frac{1}{2} a^{-\frac{3}{2}}$.

Теперь подставим эти значения в выражение для производной:

$$S'(a) = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{3}{2} a^{\frac{1}{2}} + 6 \cdot \frac{1}{2\sqrt{a}} + 9 \cdot \left( -\frac{1}{2} a^{-\frac{3}{2}} \right) \right).$$

Упростим выражение:

$$S'(a) = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{3}{2} a^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{\sqrt{a}} — \frac{9}{2a^{\frac{3}{2}}} \right).$$

Шаг 6: Промежуток возрастания

Для нахождения промежутка возрастания площади решим неравенство:

$$\sqrt{a} + \frac{2}{\sqrt{a}} — \frac{3}{a\sqrt{a}} > 0.$$

Умножим обе стороны неравенства на $a\sqrt{a}$, чтобы избавиться от дробей:

$$a^2 + 2a — 3 > 0.$$

Решим это квадратное неравенство:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,$$ $$a_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \quad a_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.$$

Значит, неравенство выполняется для $a < -3$ и $a > 1$.

Шаг 7: Точка минимума

Точка минимума находится при $a = 1$, так как это значение попадает в промежуток $\frac{1}{2} \leq a \leq 2$.

Теперь вычислим площадь при $a = 1$:

$$S(1) = \frac{(1 + 3)^2}{4\sqrt{1}} = \frac{4^2}{4} = 4.$$

Ответ:

Площадь равна $4$ при $a = 1$.