ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 297 Алимов — Подробные Ответы

Найти x по данному его логарифму (a > 0, b > 0):

1. log3(x) = 4log3(a) + 7log3(b);
2. log5(x) = 2log5(a) — 3log5(b);
3. log1/2(x) = 2/3log1/2(a) — 1/5log1/2(b);
4. log2/3(x) = 1/4log2/3(a) + 4/7log2/3(b).

Найти $x$ по данному его логарифму $(a > 0, \, b > 0)$:

1. $\log_3 x = 4 \log_3 a + 7 \log_3 b$;
   $\log_3 x = \log_3 a^4 + \log_3 b^7$;
   $\log_3 x = \log_3 (a^4 b^7)$;
   Ответ: $x = a^4 b^7$.
2. $\log_5 x = 2 \log_5 a — 3 \log_5 b$;
   $\log_5 x = \log_5 a^2 — \log_5 b^3$;
   $\log_5 x = \log_5 \frac{a^2}{b^3}$;
   Ответ: $x = \frac{a^2}{b^3}$.
3. $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a — \frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b$;
   $\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{a^2} — \log_{\frac{1}{2}} \sqrt[5]{b}$;
   $\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[5]{b}}$;
   Ответ: $x = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[5]{b}}$.
4. $\log_{\frac{2}{3}} x = \frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a + \frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b$;
   $\log_{\frac{2}{3}} x = \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[4]{a} + \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[7]{b^4}$;
   $\log_{\frac{2}{3}} x = \log_{\frac{2}{3}} (\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[7]{b^4})$;
   Ответ: $x = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[7]{b^4}$.

Дано: $a > 0$, $b > 0$. Нужно найти $x$ по данному выражению логарифма $\log_a x$.

1) $\log_3 x = 4 \log_3 a + 7 \log_3 b$

Шаг 1. Используем свойство логарифма умножения на число — вынос степени:

$$k \log_a m = \log_a m^k$$

Тогда:

$$4 \log_3 a = \log_3 a^4, \quad 7 \log_3 b = \log_3 b^7$$

Шаг 2. Подставляем:

$$\log_3 x = \log_3 a^4 + \log_3 b^7$$

Шаг 3. Применяем свойство логарифма суммы (произведение аргументов):

$$\log_a m + \log_a n = \log_a (m \cdot n)$$

Значит:

$$\log_3 x = \log_3 (a^4 \cdot b^7)$$

Шаг 4. Поскольку логарифмы равны, равны и аргументы:

$$x = a^4 b^7$$

Ответ 1):

$$\boxed{x = a^4 b^7}$$

2) $\log_5 x = 2 \log_5 a — 3 \log_5 b$

Шаг 1. Аналогично первому пункту:

$$2 \log_5 a = \log_5 a^2, \quad 3 \log_5 b = \log_5 b^3$$

Шаг 2. Подставляем:

$$\log_5 x = \log_5 a^2 — \log_5 b^3$$

Шаг 3. Используем свойство логарифма разности (деление аргументов):

$$\log_a m — \log_a n = \log_a \frac{m}{n}$$

Значит:

$$\log_5 x = \log_5 \frac{a^2}{b^3}$$

Шаг 4. Приравниваем аргументы:

$$x = \frac{a^2}{b^3}$$

Ответ 2):

$$\boxed{x = \frac{a^2}{b^3}}$$

3) $\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a — \frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b$

Шаг 1. Преобразуем коэффициенты в степени:

$$\frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} a = \log_{\frac{1}{2}} a^{\frac{2}{3}}, \quad \frac{1}{5} \log_{\frac{1}{2}} b = \log_{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{5}}$$

Шаг 2. Подставляем:

$$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} a^{\frac{2}{3}} — \log_{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{5}}$$

Шаг 3. Применяем свойство разности логарифмов:

$$\log_a m — \log_a n = \log_a \frac{m}{n}$$

Получаем:

$$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{\frac{1}{2}} \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}}$$

Шаг 4. Приравниваем аргументы:

$$x = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{b^{\frac{1}{5}}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[5]{b}}$$

Ответ 3):

$$\boxed{x = \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[5]{b}}}$$

4) $\log_{\frac{2}{3}} x = \frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a + \frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b$

Шаг 1. Переводим коэффициенты в степени:

$$\frac{1}{4} \log_{\frac{2}{3}} a = \log_{\frac{2}{3}} a^{\frac{1}{4}} = \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[4]{a}$$ $$\frac{4}{7} \log_{\frac{2}{3}} b = \log_{\frac{2}{3}} b^{\frac{4}{7}} = \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[7]{b^4}$$

Шаг 2. Подставляем:

$$\log_{\frac{2}{3}} x = \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[4]{a} + \log_{\frac{2}{3}} \sqrt[7]{b^4}$$

Шаг 3. Складываем логарифмы (умножение аргументов):

$$\log_a m + \log_a n = \log_a (m \cdot n)$$

Получаем:

$$\log_{\frac{2}{3}} x = \log_{\frac{2}{3}} \left( \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[7]{b^4} \right)$$

Шаг 4. Приравниваем аргументы:

$$x = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[7]{b^4}$$

Ответ 4):

$$\boxed{x = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[7]{b^4}}$$