ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 771 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения х, при которых функция у = 1,5-2 sin2x/2 принимает положительные значения.

$$y = 1,5 — 2 \sin^2 \frac{x}{2} = 1,5 — (1 — \cos x) = \frac{1}{2} + \cos x;$$

Функция принимает положительные значения при:

$$\frac{1}{2} + \cos x > 0;$$ $$\cos x > -\frac{1}{2};$$ $$-\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n < x < \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n;$$ $$-\left(\pi — \arccos\frac{1}{2}\right) + 2\pi n < x < \pi — \arccos\frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$-\left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) + 2\pi n < x < \pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{2\pi }{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$$

Мы имеем функцию:

$$y = 1,5 — 2 \sin^2 \frac{x}{2}.$$

Задача заключается в том, чтобы найти область определения, где эта функция принимает положительные значения, то есть, $y > 0$.

Шаг 1: Преобразуем выражение для функции

Запишем функцию исходно:

$$y = 1,5 — 2 \sin^2 \frac{x}{2}.$$

Используем тригонометрическую идентичность:

$$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 — \cos x}{2}.$$

Подставим это в исходное выражение для $y$:

$$y = 1,5 — 2 \cdot \frac{1 — \cos x}{2} = 1,5 — (1 — \cos x).$$

Упростим:

$$y = 1,5 — 1 + \cos x = 0,5 + \cos x.$$

Теперь мы имеем более простое выражение для функции:

$$y = 0,5 + \cos x.$$

Шаг 2: Определим область, где функция принимает положительные значения

Нам нужно найти, при каких значениях $x$ функция $y = 0,5 + \cos x$ будет больше нуля:

$$0,5 + \cos x > 0.$$

Переносим 0,5 на другую сторону:

$$\cos x > -0,5.$$

Шаг 3: Найдем решения для $\cos x > -0,5$

Необходимо найти, при каких значениях $x$ косинус функции больше, чем $-0,5$. Косинус имеет период $2\pi$, поэтому решения будут повторяться с периодом $2\pi n$, где $n$ — целое число.

Решим неравенство $\cos x > -0,5$.

Для начала найдем, когда $\cos x = -0,5$. Косинус равен $-0,5$ при:

$$x = \pm \arccos(-0,5) = \pm \frac{2\pi}{3}.$$

Таким образом, значения $\cos x = -0,5$ достигаются в точках $x = \pm \frac{2\pi}{3}$, и $\cos x > -0,5$ для значений $x$ между этими точками.

Шаг 4: Запишем область для $x$

Теперь запишем промежуток, на котором $\cos x > -0,5$. Это будет интервал между точками $-\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{2\pi}{3}$, но так как косинус периодичен, решение будет повторяться с периодом $2\pi$.

Итак, область решения:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Где $n$ — любое целое число.

Ответ:

$$-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом, функция $y = 0,5 + \cos x$ принимает положительные значения для значений $x$, которые лежат в интервале $\left(-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\right)$, где $n$ — целое число.