ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 799 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х выполняется равенство f'(х) = f (х), если:

1. f(x) = (2x — 1)2;
2. f(x) = (3x + 2)3?

1. $f(x) = (2x — 1)^2$;

Производная функции:
$f'(x) = 2 \cdot 2 \cdot (2x — 1)^{2-1} = 4(2x — 1);$

Равенство выполняется при:
$(2x — 1)^2 = 4(2x — 1);$
$(2x — 1)^2 — 4(2x — 1) = 0;$
$(2x — 1)(2x — 1 — 4) = 0;$
$(2x — 1)(2x — 5) = 0;$
$2x_1 — 1 = 0, \text{отсюда } x_1 = \frac{1}{2};$
$2x_2 — 5 = 0, \text{отсюда } x_2 = \frac{5}{2};$

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{5}{2}$.

2. $f(x) = (3x + 2)^3$;

Производная функции:
$f'(x) = 3 \cdot 3 \cdot (3x + 2)^{3-1} = 9(3x + 2)^2;$

Равенство выполняется при:
$(3x + 2)^3 = 9(3x + 2)^2;$
$(3x + 2)^3 — 9(3x + 2)^2 = 0;$
$(3x + 2)^2 \cdot (3x + 2 — 9) = 0;$
$(3x + 2)^2 \cdot (3x — 7) = 0;$
$3x_1 + 2 = 0, \text{отсюда } x_1 = -\frac{2}{3};$
$3x_2 — 7 = 0, \text{отсюда } x_2 = \frac{7}{3};$

Ответ: $-\frac{2}{3}, \frac{7}{3}$.

1) $f(x) = (2x — 1)^2$

Шаг 1: Находим производную функции.

Мы начинаем с того, что дифференцируем $f(x) = (2x — 1)^2$. Это функция степени, поэтому будем использовать правило дифференцирования для сложных функций, известное как цепное правило.

Цепное правило гласит:

$$\frac{d}{dx}[g(x)^n] = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x),$$

где $g(x) = 2x — 1$, а $n = 2$.

Теперь применим цепное правило:

$$f'(x) = 2 \cdot 1 \cdot (2x — 1)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx}(2x — 1).$$

Производная от $2x — 1$ равна 2 (так как производная от $2x$ равна 2, а производная от константы $-1$ равна 0). Поэтому:

$$f'(x) = 4(2x — 1).$$

Шаг 2: Решаем уравнение $f'(x) = 0$.

Нам нужно найти такие $x$, для которых производная $f'(x) = 0$. То есть:

$$4(2x — 1) = 0.$$

Теперь решим это уравнение. Для этого сначала разделим обе стороны на 4:

$$2x — 1 = 0.$$

Затем решим для $x$:

$$2x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Проверяем решение.

Для того чтобы убедиться, что $x = \frac{1}{2}$ — это единственный корень, можно заметить, что выражение $4(2x — 1)$ представляет собой линейную функцию. Линейные функции имеют только один корень, и это решение является единственным.

Ответ:

Корень уравнения $f'(x) = 0$ — это $x = \frac{1}{2}$.

2) $f(x) = (3x + 2)^3$

Шаг 1: Находим производную функции.

Теперь давайте найдем производную для $f(x) = (3x + 2)^3$.

Снова используем цепное правило. У нас есть $g(x) = 3x + 2$, и $n = 3$. Применяя цепное правило, получаем:

$$f'(x) = 3 \cdot 1 \cdot (3x + 2)^{3-1} \cdot \frac{d}{dx}(3x + 2).$$

Производная от $3x + 2$ равна 3, так как производная от $3x$ равна 3, а производная от константы $2$ равна 0. Таким образом:

$$f'(x) = 9(3x + 2)^2.$$

Шаг 2: Решаем уравнение $f'(x) = 0$.

Нам нужно найти такие $x$, для которых $f'(x) = 0$. То есть:

$$9(3x + 2)^2 = 0.$$

Разделим обе стороны на 9:

$$(3x + 2)^2 = 0.$$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих сторон:

$$3x + 2 = 0.$$

Решаем это уравнение для $x$:

$$3x = -2 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{2}{3}.$$

Шаг 3: Проверяем второе решение.

Мы видим, что у нас квадратное уравнение. Поскольку квадрат числа $(3x + 2)^2$ всегда даёт неотрицательное значение, оно равно нулю, только если $3x + 2 = 0$. В данном случае решение для $x = -\frac{2}{3}$ является единственным корнем.

Ответ:

Корень уравнения $f'(x) = 0$ — это $x = -\frac{2}{3}$.

Шаг 4: Получаем второе решение из исходного уравнения.

Теперь вернемся к исходному уравнению $(3x + 2)^3 = 9(3x + 2)^2$. Мы можем переписать его как:

$$(3x + 2)^3 — 9(3x + 2)^2 = 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$(3x + 2)^2 \cdot ((3x + 2) — 9) = 0.$$

У нас два множителя, и одно из них равно нулю, когда $(3x + 2)^2 = 0$, что мы уже рассмотрели, а второе $(3x + 2) — 9 = 0$ даёт:

$$3x — 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{7}{3}.$$

Ответ:

Корни уравнения $f'(x) = 0$ — это $x = -\frac{2}{3}$ и $x = \frac{7}{3}$.

Итоговые ответы:

1. Для функции $f(x) = (2x — 1)^2$ корень $f'(x) = 0$ — это $x = \frac{1}{2}$.
2. Для функции $f(x) = (3x + 2)^3$ корни $f'(x) = 0$ — это $x = -\frac{2}{3}$ и $x = \frac{7}{3}$.