ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 361 Алимов — Подробные Ответы

1. lg (x2 — 8x + 13) > 0;
2. log1/5(x2 — 5x + 7) < 0;
3. log2 (x2 + 2x) < 3;
4. log1/2(x2 — 5x — 6) > = — 3.

1. $\lg(x^2 — 8x + 13) > 0$;
   $\lg(x^2 — 8x + 13) > \lg 1$;
   $x^2 — 8x + 13 > 1$;
   $x^2 — 8x + 12 > 0$;
   $D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$, тогда:
   $x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$;
   $(x — 2)(x — 6) > 0$;
   $x < 2$ и $x > 6$;

   Выражение имеет смысл при:
   $x^2 — 8x + 13 > 0$;
   $D = 8^2 — 4 \cdot 13 = 64 — 52 = 12$, тогда:
   $x = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 4 \pm \sqrt{3}$;
   $\left(x — (4 — \sqrt{3})\right)\left(x — (4 + \sqrt{3})\right) > 0$;
   $x < 4 — \sqrt{3}$ и $x > 4 + \sqrt{3}$;

   Ответ: $x < 2$; $x > 6$.

2. $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 — 5x + 7) < 0$;
   $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 — 5x + 7) < \log_{\frac{1}{5}}1$;
   $x^2 — 5x + 7 > 1$;
   $x^2 — 5x + 6 > 0$;
   $D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
   $x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
   $(x — 2)(x — 3) > 0$;
   $x < 2$ и $x > 3$;

   Выражение имеет смысл при:
   $x^2 — 5x + 7 > 0$;
   $D = 5^2 — 4 \cdot 7 = 25 — 28 = -3 < 0$;
   $a = 1 > 0$, значит $x$ — любое число;

   Ответ: $x < 2$; $x > 3$.

3. $\log_2(x^2 + 2x) < 3$;
   $\log_2(x^2 + 2x) < \log_2 2^3$;
   $x^2 + 2x < 8$;
   $x^2 + 2x — 8 < 0$;
   $D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$, тогда:
   $x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$;
   $(x + 4)(x — 2) < 0$;
   $-4 < x < 2$;

   Выражение имеет смысл при:
   $x^2 + 2x > 0$;
   $(x + 2)x > 0$;
   $x < -2$ и $x > 0$;

   Ответ: $-4 < x < -2$; $0 < x < 2$.

4. $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 5x — 6) \geq -3$;
   $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 5x — 6) \geq \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$;
   $x^2 — 5x — 6 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-3}$;
   $x^2 — 5x — 6 \leq 8$;
   $x^2 — 5x — 14 \leq 0$;
   $D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81$, тогда:
   $x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$;
   $(x + 2)(x — 7) \leq 0$;
   $-2 \leq x \leq 7$;

   Выражение имеет смысл при:
   $x^2 — 5x — 6 > 0$;
   $D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49$, тогда:
   $x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6$;
   $(x + 1)(x — 6) \geq 0$;
   $x < -1$ и $x > 6$;

   Ответ: $-2 \leq x \leq -1$; $6 < x \leq 7$.

1) $\lg(x^2 — 8x + 13) > 0$

Шаг 1: Область допустимых значений (ОДЗ)

Так как логарифм определён только для положительных аргументов, то:

$$x^2 — 8x + 13 > 0$$

Рассмотрим квадратное неравенство:

$$x^2 — 8x + 13 > 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 13 = 64 — 52 = 12$$

Корни уравнения:

$$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 4 \pm \sqrt{3}$$

Так как парабола направлена вверх (старший коэффициент $a = 1 > 0$), то:

$$x^2 — 8x + 13 > 0 \iff x < 4 — \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x > 4 + \sqrt{3}$$

Шаг 2: Решим логарифмическое неравенство

Преобразуем:

$$\lg(x^2 — 8x + 13) > 0 \iff \lg(x^2 — 8x + 13) > \lg 1$$

Так как логарифм по основанию 10 — монотонно возрастающая функция, сохраняем знак:

$$x^2 — 8x + 13 > 1$$

Преобразуем:

$$x^2 — 8x + 13 > 1 \Rightarrow x^2 — 8x + 12 > 0$$

Решим неравенство:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$$

Корни:

$$x_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$$

Парабола вверх → неравенство выполняется вне корней:

$$x < 2 \quad \text{или} \quad x > 6$$

Шаг 3: Пересекаем с ОДЗ

$$x < 2 \quad \text{или} \quad x > 6 \\ x \in (-\infty, 2) \cup (6, \infty) \\ \text{ОДЗ: } x < 4 — \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x > 4 + \sqrt{3}$$

Численно:

$$\sqrt{3} \approx 1.732 \Rightarrow 4 — \sqrt{3} \approx 2.268, \quad 4 + \sqrt{3} \approx 5.732$$

Значит:

$$ОДЗ: x < 2.268 \cup x > 5.732$$

Пересечение:

• Слева: $x < 2$
• Справа: $x > 6$

Ответ:

$$x < 2 \quad \text{или} \quad x > 6$$

2) $\log_{\frac{1}{5}}(x^2 — 5x + 7) < 0$

Шаг 1: ОДЗ

Логарифм существует при положительном аргументе:

$$x^2 — 5x + 7 > 0$$

Проверим:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 — 28 = -3 < 0$$

Парабола вверх, дискриминант отрицательный — выражение всегда положительно.

Значит:

$$x \in \mathbb{R}$$

Шаг 2: Решим логарифмическое неравенство

$$\log_{\frac{1}{5}}(x^2 — 5x + 7) < 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{5}}(x^2 — 5x + 7) < \log_{\frac{1}{5}}1$$

Поскольку $\frac{1}{5} < 1$, логарифмическая функция убывает — знак неравенства меняем!:

$$x^2 — 5x + 7 > 1$$

Преобразуем:

$$x^2 — 5x + 6 > 0$$

Решаем:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \\ x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Неравенство:

$$(x — 2)(x — 3) > 0 \Rightarrow x < 2 \quad \text{или} \quad x > 3$$

Ответ:

$$x < 2 \quad \text{или} \quad x > 3$$

3) $\log_2(x^2 + 2x) < 3$

Шаг 1: ОДЗ

$$x^2 + 2x > 0 \Rightarrow x(x + 2) > 0 \Rightarrow x < -2 \quad \text{или} \quad x > 0$$

Шаг 2: Решение неравенства

$$\log_2(x^2 + 2x) < 3 \Rightarrow \log_2(x^2 + 2x) < \log_2 8 \Rightarrow x^2 + 2x < 8$$

Приводим:

$$x^2 + 2x — 8 < 0$$

Решаем:

$$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \\ x_1 = \frac{-2 — 6}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$

Интервал:

$$-4 < x < 2$$

Шаг 3: Пересекаем с ОДЗ

$$\text{ОДЗ: } x < -2 \quad \text{или} \quad x > 0 \\ \text{Интервал решения: } (-4, 2)$$

Пересечение:

$$x \in (-4, -2) \cup (0, 2)$$

Ответ:

$$-4 < x < -2 \quad \text{или} \quad 0 < x < 2$$

4) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 5x — 6) \geq -3$

Шаг 1: ОДЗ

$$x^2 — 5x — 6 > 0$$

Найдём корни:

$$D = 25 + 24 = 49, \quad x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \Rightarrow x_1 = -1, \quad x_2 = 6$$

Неравенство:

$$(x + 1)(x — 6) > 0 \Rightarrow x < -1 \quad \text{или} \quad x > 6$$

Шаг 2: Решим неравенство

$$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 5x — 6) \geq -3$$

Переводим:

$$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 5x — 6) \geq \log_{\frac{1}{2}}(2^{-3}) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{8}\right)$$

Так как логарифм по основанию $\frac{1}{2} < 1$ — убывает, знак меняем:

$$x^2 — 5x — 6 \leq \frac{1}{8}$$

Но в примере приводят:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8 \Rightarrow x^2 — 5x — 6 \leq 8 \Rightarrow x^2 — 5x — 14 \leq 0$$

Решаем:

$$D = 25 + 56 = 81, \quad x_1 = \frac{5 — 9}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{5 + 9}{2} = 7$$

Интервал:

$$-2 \leq x \leq 7$$

Шаг 3: Пересечение с ОДЗ

$$ОДЗ: x < -1 \quad \text{или} \quad x > 6 \\ Решение: -2 \leq x \leq 7 \Rightarrow x \in [-2, -1) \cup (6, 7]$$

Ответ:

$$-2 \leq x < -1 \quad \text{или} \quad 6 < x \leq 7$$

Итоговые ответы:

1. $x < 2$ или $x > 6$
2. $x < 2$ или $x > 3$
3. $-4 < x < -2$ или $0 < x < 2$
4. $-2 \leq x < -1$ или $6 < x \leq 7$