ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1537 Алимов — Подробные Ответы

1. y=1×3/3 — x2-3x+9;
2. y=-x4+6×2-9.

1) $y = \frac{1}{3}x^3 — x^2 — 3x + 9$

Функция ни четная, ни нечетная:

$$f(-x) = \frac{1}{3}(-x)^3 — (-x)^2 — 3(-x) + 9 = -\frac{1}{3}x^3 — x^2 + 3x + 9$$

Производная функции:

$$f'(x) = \frac{1}{3}(x^3)’ — (x^2)’ — (3x — 9)’$$ $$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 2x — 3 = x^2 — 2x — 3$$

Промежуток возрастания:

$$x^2 — 2x — 3 > 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$$ $$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ $$(x + 1)(x — 3) > 0$$ $$x < -1 \quad \text{и} \quad x > 3$$

Промежуток убывания:

$$-1 < x < 3$$

Стационарные точки:

$$x = -1 \quad \text{— точка максимума;}$$ $$x = 3 \quad \text{— точка минимума;}$$

Максимум и минимум функции:

$$y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 — (-1)^2 — 3(-1) + 9 = -\frac{1}{3} — 1 + 3 + 9 = 11 — \frac{1}{3} = 10 \frac{2}{3}$$ $$y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 — 3^2 — 3 \cdot 3 + 9 = 9 — 9 — 9 + 9 = 0$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -3 & 6 \\ \hline y & 0 & 27 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

2) $y = -x^4 + 6x^2 — 9$

Функция четная:

$$f(-x) = -(-x)^4 + 6(x^2) — 9 = -x^4 + 6x^2 — 9 = f(x)$$

Производная функции:

$$f'(x) = -(x^4)’ + 6(x^2)’ — (9)’$$ $$f'(x) = -4x^3 + 6 \cdot 2x — 0 = 12x — 4x^3$$

Промежуток возрастания:

$$12x — 4x^3 > 0$$ $$3x — x^2 > 0$$ $$x(3 — x^2) > 0$$ $$x(x^2 — 3) < 0$$ $$(x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) < 0$$ $$x < -\sqrt{3} \quad \text{и} \quad 0 \leq x < \sqrt{3}$$

Промежуток убывания:

$$-\sqrt{3} < x < 0 \quad \text{и} \quad x > \sqrt{3}$$

Стационарные точки:

$$x = \pm \sqrt{3} \quad \text{— точки максимума;}$$ $$x = 0 \quad \text{— точка минимума;}$$

Максимум и минимум функции:

$$y(\pm \sqrt{3}) = -(\pm \sqrt{3})^4 + 6 \cdot (\pm \sqrt{3})^2 — 9 = -9 + 18 — 9 = 0$$ $$y(0) = -0^4 + 6 \cdot 0^2 — 9 = -9$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 1 & 3 \\ \hline y & -4 & -36 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

1) $y = \frac{1}{3}x^3 — x^2 — 3x + 9$

1. Функция ни четная, ни нечетная:

Для того чтобы проверить, является ли функция четной или нечетной, нужно сравнить значения $f(x)$ и $f(-x)$.

• Функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 — x^2 — 3x + 9$.

Теперь вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = \frac{1}{3}(-x)^3 — (-x)^2 — 3(-x) + 9 = -\frac{1}{3}x^3 — x^2 + 3x + 9.$$

Мы видим, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Производная функции:

Чтобы найти производную функции $f(x) = \frac{1}{3}x^3 — x^2 — 3x + 9$, применяем стандартные правила дифференцирования:

$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 — 2x — 3 = x^2 — 2x — 3.$$

Таким образом, производная функции:

$$f'(x) = x^2 — 2x — 3.$$

3. Промежуток возрастания:

Для того чтобы найти промежутки возрастания, необходимо решить неравенство $f'(x) > 0$, где $f'(x) = x^2 — 2x — 3$.

Решим неравенство:

$$x^2 — 2x — 3 > 0.$$

Рассчитаем дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.$$

Теперь найдём корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3.$$

Таким образом, у нас есть корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Далее разберём знак произведения $(x + 1)(x — 3) > 0$ на интервалах, определённых этими корнями.

• Для $x < -1$ (например, $x = -2$): знак произведения $(-) \cdot (-) = +$.
• Для $-1 < x < 3$ (например, $x = 0$): знак произведения $(+) \cdot (-) = —$.
• Для $x > 3$ (например, $x = 4$): знак произведения $(+) \cdot (+) = +$.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(3, \infty)$.

Ответ: промежуток возрастания — $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$.

4. Промежуток убывания:

Для нахождения промежутка убывания исследуем, где производная отрицательна, то есть где:

$$f'(x) < 0 \quad \text{для} \quad x \in (-1, 3).$$

Промежуток убывания: $(-1, 3)$.

5. Стационарные точки:

Стационарные точки находятся при $f'(x) = 0$.

Решим уравнение:

$$f'(x) = x^2 — 2x — 3 = 0.$$

Для решения этого квадратного уравнения используем формулу для корней:

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.$$

Таким образом, $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Это стационарные точки.

• В точке $x = -1$ будет максимум, поскольку на интервале $(-\infty, -1)$ функция возрастает, а на интервале $(-1, 3)$ убывает.
• В точке $x = 3$ будет минимум, так как на интервале $(3, \infty)$ функция снова возрастает.

6. Максимум и минимум функции:

Найдем значения функции в стационарных точках.

Для $x = -1$:

$$y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 — (-1)^2 — 3(-1) + 9 = -\frac{1}{3} — 1 + 3 + 9 = 11 — \frac{1}{3} = 10 \frac{2}{3}.$$

Для $x = 3$:

$$y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 — 3^2 — 3 \cdot 3 + 9 = 9 — 9 — 9 + 9 = 0.$$

Ответ:

• Максимум функции: $x = -1$, $y(-1) = 10 \frac{2}{3}$.
• Минимум функции: $x = 3$, $y(3) = 0$.

7. Координаты некоторых точек:

Найдем значения функции для $x = -3$ и $x = 6$.

Для $x = -3$:

$$y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 — (-3)^2 — 3(-3) + 9 = -\frac{27}{3} — 9 + 9 + 9 = -9 — 9 + 9 + 9 = 0.$$

Для $x = 6$:

$$y(6) = \frac{1}{3}(6)^3 — 6^2 — 3 \cdot 6 + 9 = \frac{216}{3} — 36 — 18 + 9 = 72 — 36 — 18 + 9 = 27.$$

Ответ: координаты точек $(-3, 0)$ и $(6, 27)$.

8. График функции:

2) $y = -x^4 + 6x^2 — 9$

1. Функция четная:

Для проверки четности функции, нам нужно проверить, равен ли $f(-x)$ значению $f(x)$.

• Функция $f(x) = -x^4 + 6x^2 — 9$.

Вычислим $f(-x)$:

$$f(-x) = -(-x)^4 + 6(-x)^2 — 9 = -x^4 + 6x^2 — 9 = f(x).$$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция четная.

2. Производная функции:

Найдем производную функции $f(x) = -x^4 + 6x^2 — 9$.

$$f'(x) = -(x^4)’ + 6(x^2)’ — (9)’ = -4x^3 + 12x.$$

Производная функции:

$$f'(x) = -4x^3 + 12x.$$

3. Промежуток возрастания:

Для нахождения промежутков возрастания решаем неравенство $f'(x) > 0$.

$$-4x^3 + 12x > 0,$$ $$-4x(x^2 — 3) > 0,$$ $$x(x^2 — 3) < 0.$$

Решаем неравенство методом интервалов, используя корни $x = 0$ и $x = \pm \sqrt{3}$. Исследуем знаки произведения на интервалах:

• Для $x < -\sqrt{3}$ (например, $x = -2$) знак произведения $(-) \cdot (+) = —$.
• Для $-\sqrt{3} < x < 0$ (например, $x = -1$) знак произведения $(+) \cdot (+) = +$.
• Для $0 < x < \sqrt{3}$ (например, $x = 1$) знак произведения $(+) \cdot (-) = —$.
• Для $x > \sqrt{3}$ (например, $x = 2$) знак произведения $(+) \cdot (+) = +$.

Ответ: промежуток возрастания — $(-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, \infty)$.

4. Промежуток убывания:

Для нахождения промежутка убывания исследуем, где производная отрицательна:

$$-\sqrt{3} < x < 0 \quad \text{и} \quad x > \sqrt{3}.$$

5. Стационарные точки:

Для нахождения стационарных точек решим уравнение $f'(x) = 0$:

$$-4x^3 + 12x = 0,$$ $$-4x(x^2 — 3) = 0.$$

Корни уравнения: $x = 0$, $x = \pm \sqrt{3}$.

Ответ: стационарные точки — $x = 0, \pm \sqrt{3}$.

6. Максимум и минимум функции:

Для $x = 0$ и $x = \pm \sqrt{3}$ применяем второй производный тест:

• Для $x = 0$: $f»(x) = -12x^2 + 12$, $f»(0) = 12 > 0$, значит $x = 0$ — минимум.
• Для $x = \pm \sqrt{3}$: $f»(\pm \sqrt{3}) = -12(\sqrt{3})^2 + 12 = -36 + 12 = -24 < 0$, значит $x = \pm \sqrt{3}$ — максимумы.

Ответ: максимум в точках $x = \pm \sqrt{3}$, минимум в точке $x = 0$.

7. Координаты некоторых точек:

Найдем значения функции для $x = 1$ и $x = 3$.

Для $x = 1$:

$$y(1) = -(1)^4 + 6(1)^2 — 9 = -1 + 6 — 9 = -4.$$

Для $x = 3$:

$$y(3) = -(3)^4 + 6(3)^2 — 9 = -81 + 54 — 9 = -36.$$

Ответ: координаты точек $(1, -4)$ и $(3, -36)$.

8. График функции: