ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 571 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (571—573).

1. cosx=корень 2/2;
2. cosx=-корень 3/2;
3. cosx=-1/корень 2.

1. $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;
   $x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
   Ответ: $\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$.
2. $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
   $x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$;
   Ответ: $\pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.
3. $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$;
   $x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;
   Ответ: $\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

1) Уравнение:

$$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 1. Вспомним основные значения косинуса для углов на окружности. Значение $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ известно для угла $x = \frac{\pi}{4}$ (45 градусов).

Шаг 2. Найдём все решения уравнения $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале $0 \leq x < 2\pi$.

Косинус положителен в I и IV квадрантах, следовательно:

• Первый корень: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ (I квадрант).
• Второй корень: $x_2 = 2\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ (IV квадрант).

Шаг 3. Выразим решение через арккосинус:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$$

Поскольку $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, тогда:

$$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Это общее решение на всей числовой оси.

Ответ для первого уравнения:

$$\boxed{x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

2) Уравнение:

$$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 1. Определим, для каких углов косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 2. Теперь нам нужно найти все $x$, для которых $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть косинус отрицателен и равен по абсолютной величине $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус отрицателен во II и III квадрантах, следовательно:

• Первый корень:

$$x_1 = \pi — \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$$

(II квадрант, где косинус отрицателен).

• Второй корень:

$$x_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$

(III квадрант).

Шаг 3. Используем общее выражение для решения уравнения $\cos x = a$, где $a \in [-1,1]$:

$$x = \pm (\pi — \arccos |a|) + 2\pi n$$

В нашем случае:

$$a = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad |a| = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Подставляем:

$$x = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Это покрывает оба корня, так как при $+\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ и $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ будут соответствующие решения.

Ответ для второго уравнения:

$$\boxed{x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

3) Уравнение:

$$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 1. Найдём значение арккосинуса для положительного аргумента:

$$\arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2. Косинус отрицателен во II и III квадрантах. Значит, решаем уравнение так же, как и в предыдущем случае:

$$x = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 3. Проверим значения для $n=0$:

$$x_1 = \frac{3\pi}{4}, \quad \cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$ $$x_2 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}, \quad \cos \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Оба решения правильные.

Ответ для третьего уравнения:

$$\boxed{x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$