ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 550 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение (550—551).

1. ((1+cos2a)/sina — sina)1/2 tga;
2. ctga((1+sin2a)/cosa) — cosa).

1.

$$(\frac{1+{\cos }^{2}a}{\sin a}-\sin a)\cdot \frac{1}{2}\mathrm{tg}a=\frac{1+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}{\sin a}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sin a}{\cos a}=$$$$=\frac{{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}{2\cdot \cos a}=\frac{2\cdot {\cos }^{2}a}{2\cdot \cos a}=\cos a;$$

2.

$$\mathrm{ctg}a(\frac{1+{\sin }^{2}a}{\cos a}-\cos a)=\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{1+{\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a}{\cos a}=$$$$=\frac{{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a+{\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a}{\sin a}=\frac{2{\sin }^{2}a}{\sin a}=2\sin a$$

1) Вычислить и упростить:

$$(\frac{1+{\cos }^{2}a}{\sin a}-\sin a)\cdot \frac{1}{2}\mathrm{tg}a$$

Шаг 1. Распишем выражение внутри скобок:

$$\frac{1+{\cos }^{2}a}{\sin a}-\sin a=\frac{1+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}{\sin a}$$

Пояснение:
Чтобы вычесть $\sin a$, приведём его к общему знаменателю $\sin a$:

$$\sin a=\frac{{\sin }^{2}a}{\sin a}$$

Тогда:

$$\frac{1+{\cos }^{2}a}{\sin a}-\sin a=\frac{1+{\cos }^{2}a}{\sin a}-\frac{{\sin }^{2}a}{\sin a}=\frac{1+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}{\sin a}$$

Шаг 2. Используем основное тригонометрическое тождество:

$${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$$

Отсюда:

$$1={\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a$$

Шаг 3. Подставляем $1={\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a$ в числитель:

$$1+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=$$

$$={\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a$$

Шаг 4. Таким образом, выражение внутри скобок упростилось до:

$$\frac{2{\cos }^{2}a}{\sin a}$$

Шаг 5. Теперь умножаем на $\frac{1}{2}\mathrm{tg}a$:

$$\left(\frac{2{\cos }^{2}a}{\sin a}\right)\cdot \frac{1}{2}\mathrm{tg}a=\frac{2{\cos }^{2}a}{\sin a}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sin a}{\cos a}$$

(помним, что $\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}$).

Шаг 6. Сокращаем множители:

• Числитель: $2{\cos }^{2}a\cdot \frac{1}{2}\cdot \sin a$
• Знаменатель: $\sin a\cdot \cos a$

Сокращаем $2$ и $\frac{1}{2}$, а также $\sin a$:

$$=\frac{{\cos }^{2}a}{\cos a}=\cos a$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \cos a}}$$

2) Вычислить и упростить:

$$\mathrm{ctg}a(\frac{1+{\sin }^{2}a}{\cos a}-\cos a)$$

Шаг 1. Распишем выражение внутри скобок:

$$\frac{1+{\sin }^{2}a}{\cos a}-\cos a=\frac{1+{\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a}{\cos a}$$

Пояснение:
Приводим $\cos a$ к общему знаменателю $\cos a$:

$$\cos a=\frac{{\cos }^{2}a}{\cos a}$$

Шаг 2. Используем основное тождество:

$${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$$

Отсюда:

$$1={\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a$$

Шаг 3. Подставляем в числитель:

$$1+{\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a=({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)+{\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a=$$

$$={\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a=2{\sin }^{2}a$$

Шаг 4. Упрощаем выражение внутри скобок:

$$\frac{2{\sin }^{2}a}{\cos a}$$

Шаг 5. Умножаем на $\mathrm{ctg}a$:

$$\mathrm{ctg}a\cdot \frac{2{\sin }^{2}a}{\cos a}=\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \frac{2{\sin }^{2}a}{\cos a}$$

(помним, что $\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}$).

Шаг 6. Сокращаем множители:

• Числитель: $\cos a\cdot 2{\sin }^{2}a$
• Знаменатель: $\sin a\cdot \cos a$

Сокращаем $\cos a$:

$$=2{\sin }^{2}a\cdot \frac{1}{\sin a}=2\sin a$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2\sin a}}$$