ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 616 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что arctg(tga)=a при -пи/2 < a < пи/2. Вычислить:

1. 3arctg(tg пи/7);
2. 4arctg(tg 0,5);
3. arctg(tg 7пи/8);
4. arctg(tg 13).

По определению арктангенса:

$$\operatorname{arctg} a = x, \text{ если } \operatorname{tg} x = a \text{ и } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2};$$

Следовательно, выполняется равенство:

$$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = \operatorname{arctg} a = x;$$

1. $3 \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}\right) = 3 \cdot \frac{\pi}{7} = \frac{3\pi}{7};$
2. $4 \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 0,5) = 4 \cdot 0,5 = 2;$
3. $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8}\right) = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(\pi — \frac{\pi}{8}\right)\right) = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right) = -\frac{\pi}{8};$
4. $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 13) = \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} (4\pi + 13 — 4\pi)) = \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} (13 — 4\pi)) = 13 — 4\pi;$

Определение арктангенса

По определению, арктангенс ($\operatorname{arctg}$) — это функция, обратная тангенсу ($\operatorname{tg}$). То есть, если для какого-то угла $x$ выполняется условие:

$$\operatorname{tg} x = a,$$

то арктангенс этого числа равен самому углу $x$, но с ограничением диапазона:

$$\operatorname{arctg} a = x, \quad \text{где } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом, арктангенс возвращает значение угла, для которого тангенс равен $a$, при этом этот угол лежит в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$ (то есть в первой и четвёртой четвертях окружности).

Из этого следует важное свойство:

$$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x, \quad \text{если } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}.$$

Если $x$ лежит за пределами этого интервала, то арктангенс вернёт значение, эквивалентное углу в пределах $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, но с учётом периодичности тангенса (он повторяется с периодом $\pi$).

Теперь давай перейдём к конкретным примерам.

Пример 1: $3 \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}\right)$

1. Задача: Нужно найти значение выражения $3 \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \frac{\pi}{7})$.
2. Решение:
   • По определению функции арктангенса, если мы имеем $x = \frac{\pi}{7}$, то:

     $$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x \quad \text{при условии, что } -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}.$$

   • $\frac{\pi}{7}$ — это угол, который находится в пределах интервала $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, так как $\frac{\pi}{7} \approx 0.4488$, что меньше, чем $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$.
   • Следовательно:

     $$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}) = \frac{\pi}{7}.$$

   • Теперь можем вычислить исходное выражение:

     $$3 \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}) = 3 \cdot \frac{\pi}{7} = \frac{3\pi}{7}.$$

   • Ответ: $\frac{3\pi}{7}$.

Пример 2: $4 \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 0,5)$

1. Задача: Нужно найти значение выражения $4 \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 0,5)$.
2. Решение:
   • $0,5$ — это уже угол в радианах, который лежит в интервале $-\frac{\pi}{2} < 0,5 < \frac{\pi}{2}$.
   • Таким образом, по определению арктангенса:

     $$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0,5) = 0,5.$$

   • Теперь можем вычислить исходное выражение:

     $$4 \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 0,5) = 4 \cdot 0,5 = 2.$$

   • Ответ: $2$.

Пример 3: $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8}\right)$

1. Задача: Нужно найти значение выражения $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8})$.
2. Решение:
   • Рассмотрим угол $\frac{7\pi}{8}$. Он лежит в интервале от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$, то есть за пределами интервала $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, где тангенс инъективен (однозначно восстанавливается).
   • Тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$, то есть $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(x + n\pi)$, где $n$ — целое число.
   • Мы можем преобразовать угол $\frac{7\pi}{8}$ следующим образом:

     $$\frac{7\pi}{8} = \pi — \frac{\pi}{8}.$$

   • Тангенс угла $\pi — \frac{\pi}{8}$ равен тангенсу угла $-\frac{\pi}{8}$, так как:

     $$\operatorname{tg}(\pi — x) = -\operatorname{tg}(x).$$

   • Таким образом:

     $$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8}) = \operatorname{arctg}(\operatorname{tg} (-\frac{\pi}{8})) = -\frac{\pi}{8}.$$

   • Ответ: $-\frac{\pi}{8}$.

Пример 4: $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 13)$

1. Задача: Нужно найти значение выражения $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 13)$.
2. Решение:
   • Угол $13$ радиан находится за пределами интервала $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, так как $13$ значительно больше $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$.
   • Мы можем использовать периодичность тангенса, чтобы привести угол в интервал от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.
   • Для этого нам нужно вычесть целые кратные $\pi$ из угла $13$. Рассмотрим:

     $$13 \div \pi \approx 4.14.$$

   • То есть $13$ — это примерно $4\pi + 13 — 4\pi$, или $13 — 4\pi$.
   • Таким образом:

     $$\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 13) = \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} (13 — 4\pi)) = 13 — 4\pi.$$

   • Ответ: $13 — 4\pi$.

Итоговые ответы:

1. $3 \operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{7}\right) = \frac{3\pi}{7}$
2. $4 \operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 0,5) = 2$
3. $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{7\pi}{8}\right) = -\frac{\pi}{8}$
4. $\operatorname{arctg} (\operatorname{tg} 13) = 13 — 4\pi$