ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 594 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (594-596)

1. 1 — 4 sin х cos х = 0;
2. корень 3 + 4sinxcosx=0;
3. 1 + 6 sin x/4 cos x/4 = 0;
4. 1-8sinx/3cosx/3=0.

1. $1 — 4 \sin x \cdot \cos x = 0$;
   $2 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x = 1$;
   $\sin 2x = \frac{1}{2}$;
   $2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$;
   $x = \frac{1}{2} \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$;
   Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.
2. $\sqrt{3} + 4 \sin x \cdot \cos x = 0$;
   $2 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x = -\sqrt{3}$;
   $\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$;
   $2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;
   $x = \frac{1}{2} \cdot \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$;
   Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$.
3. $1 + 6 \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4} = 0$;
   $3 \cdot 2 \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4} = -1$;
   $\sin \frac{x}{2} = -\frac{1}{3}$;
   $\frac{x}{2} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n$;
   $x = (-1)^{n+1} \cdot 2 \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n$;
   Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot 2 \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n$.
4. $1 — 8 \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3} = 0$;
   $4 \cdot 2 \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3} = 1$;
   $\sin \frac{2x}{3} = \frac{1}{4}$;
   $\frac{2x}{3} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$;
   $x = (-1)^n \cdot \frac{3}{2} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{3\pi n}{2}$;
   Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{3}{2} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{3\pi n}{2}$.

Задача 1: $1 — 4 \sin x \cdot \cos x = 0$

Исходное уравнение:

$$1 — 4 \sin x \cdot \cos x = 0$$

Перепишем уравнение:

$$4 \sin x \cdot \cos x = 1$$

Используем формулу удвоенного угла:

$$2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x$$

Тогда:

$$2 \sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin 2x = \frac{1}{2}$$

Теперь решаем для $2x$. Мы знаем, что $\sin \theta = \frac{1}{2}$ для $\theta = \frac{\pi}{6}$ и $\theta = \pi — \frac{\pi}{6}$. Общий вид решения:

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Теперь делим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$

Задача 2: $\sqrt{3} + 4 \sin x \cdot \cos x = 0$

Исходное уравнение:

$$\sqrt{3} + 4 \sin x \cdot \cos x = 0$$

Перепишем уравнение:

$$4 \sin x \cdot \cos x = -\sqrt{3}$$

Используем формулу удвоенного угла для $2 \sin x \cdot \cos x$:

$$2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x$$

Тогда:

$$2 \sin x \cdot \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Теперь решаем для $2x$. Мы знаем, что $\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ для $\theta = \frac{4\pi}{3}$ и $\theta = \frac{5\pi}{3}$. Общий вид решения:

$$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Теперь делим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$

Задача 3: $1 + 6 \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4} = 0$

Исходное уравнение:

$$1 + 6 \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4} = 0$$

Перепишем уравнение:

$$6 \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4} = -1$$

Используем формулу удвоенного угла:

$$2 \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4} = \sin \frac{x}{2}$$

Тогда:

$$3 \sin \frac{x}{2} = -1$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} = -\frac{1}{3}$$

Теперь решаем для $\frac{x}{2}$. Мы знаем, что $\sin \theta = -\frac{1}{3}$ имеет решение в общем виде:

$$\frac{x}{2} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n$$

Теперь умножим обе части на 2:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot 2 \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n$$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot 2 \arcsin \frac{1}{3} + 2\pi n$

Задача 4: $1 — 8 \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3} = 0$

Исходное уравнение:

$$1 — 8 \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3} = 0$$

Перепишем уравнение:

$$8 \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3} = 1$$

Используем формулу удвоенного угла:

$$2 \sin \frac{x}{3} \cdot \cos \frac{x}{3} = \sin \frac{2x}{3}$$

Тогда:

$$4 \sin \frac{2x}{3} = 1$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin \frac{2x}{3} = \frac{1}{4}$$

Теперь решаем для $\frac{2x}{3}$. Мы знаем, что $\sin \theta = \frac{1}{4}$ имеет решение в общем виде:

$$\frac{2x}{3} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$$

Теперь умножим обе части на $\frac{3}{2}$:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{3}{2} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{3\pi n}{2}$$

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{3}{2} \arcsin \frac{1}{4} + \frac{3\pi n}{2}$