ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 380 Алимов — Подробные Ответы

1. log2 (x — 2) + log2 (x — 3) = 1;
2. log3 (5 — x) + log3 (-1 — x) = 3,
3. lg (x — 2) + lgx = lg 3;
4. log корень 6(x -1) + log корень 6 (x + 4) = log корень 6(6).

1)

$${\log }_2(x-2)+{\log }_2(x-3)=1;$$

$$\log_2(x — 2) + \log_2(x — 3) = 1;$$ $${\log }_2((x-2)(x-3))={\log }_{2}2;$$

$$\log_2((x — 2)(x — 3)) = \log_2 2;$$ $$(x-2)(x-3)=2;$$

$$(x — 2)(x — 3) = 2;$$ $$x^2-3x-2x+6=2;$$

$$x^2 — 3x — 2x + 6 = 2;$$ $$x^2-5x+4=0;$$

$$x^2 — 5x + 4 = 0;$$ $$D=5^2-4\cdot 4=25-16=9,\text{ тогда:}$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-2>0,\Rightarrow x>2;$$

$$x — 2 > 0, \Rightarrow x > 2;$$ $$x — 3 > 0, \Rightarrow x > 3;$$

Ответ: $x = 4$.

2)

$${\log }_3(5-x)+{\log }_3(-1-x)=3;$$

$$\log_3(5 — x) + \log_3(-1 — x) = 3;$$ $${\log }_3((5-x)(-1-x))={\log }_3{3}^3;$$

$$\log_3((5 — x)(-1 — x)) = \log_3 3^3;$$ $$(5-x)(-1-x)=27;$$

$$(5 — x)(-1 — x) = 27;$$ $$-5-5x+x+x^2=27;$$

$$-5 — 5x + x + x^2 = 27;$$ $$x^2-4x-32=0;$$

$$x^2 — 4x — 32 = 0;$$ $$D=4^2+4\cdot 32=16+128=144,\text{ тогда:}$$

$$D = 4^2 + 4 \cdot 32 = 16 + 128 = 144, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{4 — 12}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 12}{2} = 8;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5-x>0,\Rightarrow x<5;$$

$$5 — x > 0, \Rightarrow x < 5;$$ $$-1 — x > 0, \Rightarrow x < -1;$$

Ответ: $x = -4$.

3)

$$\lg (x-2)+\lg x=\lg 3;$$

$$\lg(x — 2) + \lg x = \lg 3;$$ $$\lg ((x-2)\cdot x)=\lg 3;$$

$$\lg((x — 2) \cdot x) = \lg 3;$$ $$x(x-2)=3;$$

$$x(x — 2) = 3;$$ $$x^2-2x-3=0;$$

$$x^2 — 2x — 3 = 0;$$ $$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{ тогда:}$$

$$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-2>0,\Rightarrow x>2;$$

$$x — 2 > 0, \Rightarrow x > 2;$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x = 3$.

4)

$${\log }_{\sqrt{6}}(x-1)+{\log }_{\sqrt{6}}(x+4)={\log }_{\sqrt{6}}6;$$

$$\log_{\sqrt{6}}(x — 1) + \log_{\sqrt{6}}(x + 4) = \log_{\sqrt{6}} 6;$$ $${\log }_{\sqrt{6}}((x-1)(x+4))={\log }_{\sqrt{6}}6;$$

$$\log_{\sqrt{6}}((x — 1)(x + 4)) = \log_{\sqrt{6}} 6;$$ $$(x-1)(x+4)=6;$$

$$(x — 1)(x + 4) = 6;$$ $$x^2+4x-x-4=6;$$

$$x^2 + 4x — x — 4 = 6;$$ $$x^2+3x-10=0;$$

$$x^2 + 3x — 10 = 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 10=9+40=49,\text{ тогда:}$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-1>0,\Rightarrow x>1;$$

$$x — 1 > 0, \Rightarrow x > 1;$$ $$x + 4 > 0, \Rightarrow x > -4;$$

Ответ: $x = 2$.

1)

$$\log_2(x — 2) + \log_2(x — 3) = 1$$

Шаг 1. Применим свойство суммы логарифмов:

$$\log_b A + \log_b B = \log_b (A \cdot B)$$ $$\log_2((x — 2)(x — 3)) = 1$$

Шаг 2. Преобразуем правую часть:

$$1 = \log_2 2 \quad \text{(так как } 2^1 = 2\text{)}$$ $$\log_2((x — 2)(x — 3)) = \log_2 2 \Rightarrow (x — 2)(x — 3) = 2$$

Шаг 3. Раскрываем скобки:

$$x^2 — 3x — 2x + 6 = 2 \Rightarrow x^2 — 5x + 6 = 2 \Rightarrow x^2 — 5x + 4 = 0$$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$$ $$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 1, \quad x_2 = 4$$

Шаг 5. Проверка области определения:

Для логарифма определено:

• $x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
• $x — 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

Общее условие:

$$x > 3$$

Проверим корни:

• $x = 1$ — не удовлетворяет $x > 3$
• $x = 4$ — удовлетворяет

Ответ 1:

$$\boxed{x = 4}$$

2)

$$\log_3(5 — x) + \log_3(-1 — x) = 3$$

Шаг 1. Используем формулу логарифмов:

$$\log_3((5 — x)(-1 — x)) = 3$$ $$3 = \log_3 27 \quad \text{(так как } 3^3 = 27\text{)}$$ $$(5 — x)(-1 — x) = 27$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$(5 — x)(-1 — x) = -5 — 5x + x + x^2 = x^2 — 4x — 5 = 27$$ $$x^2 — 4x — 32 = 0$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$$ $$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{4 \pm 12}{2} \Rightarrow x_1 = -4, \quad x_2 = 8$$

Шаг 4. Область определения:

Для логарифмов:

• $5 — x > 0 \Rightarrow x < 5$
• $-1 — x > 0 \Rightarrow x < -1$

Общее условие:

$$x < -1$$

Проверим корни:

• $x = -4$ — удовлетворяет
• $x = 8$ — не удовлетворяет

Ответ 2:

$$\boxed{x = -4}$$

3)

$$\lg(x — 2) + \lg x = \lg 3$$

Шаг 1. Применим правило суммы логарифмов:

$$\lg((x — 2) \cdot x) = \lg 3$$ $$x(x — 2) = 3 \Rightarrow x^2 — 2x = 3 \Rightarrow x^2 — 2x — 3 = 0$$

Шаг 2. Решим уравнение:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x_1 = -1, \quad x_2 = 3$$

Шаг 3. Область определения:

• $x > 0$
• $x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2$

Общее условие:

$$x > 2$$

Проверка:

• $x = -1$ — не удовлетворяет
• $x = 3$ — удовлетворяет

Ответ 3:

$$\boxed{x = 3}$$

4)

$$\log_{\sqrt{6}}(x — 1) + \log_{\sqrt{6}}(x + 4) = \log_{\sqrt{6}} 6$$

Шаг 1. Сумма логарифмов:

$$\log_{\sqrt{6}}((x — 1)(x + 4)) = \log_{\sqrt{6}} 6$$ $$(x — 1)(x + 4) = 6$$

Шаг 2. Раскрываем скобки:

$$x^2 + 4x — x — 4 = 6 \Rightarrow x^2 + 3x — 10 = 0$$

Шаг 3. Решаем уравнение:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$ $$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \Rightarrow x_1 = -5, \quad x_2 = 2$$

Шаг 4. Область определения:

• $x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
• $x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4$

Общее условие:

$$x > 1$$

Проверим корни:

• $x = -5$ — не удовлетворяет
• $x = 2$ — удовлетворяет

Ответ 4:

$$\boxed{x = 2}$$