ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1310 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить sinacosa/(sin2 a-cos2 a), если ctga=3/4.

Вычислить $\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a}$, если $ctg \, a = \frac{3}{4}$;

Разделим числитель и знаменатель дроби на число $\sin^2 a$:

$$\frac{\sin a\cdot \cos a}{{\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a}=\frac{\frac{\sin a\cdot \cos a}{{\sin }^{2}a}}{\frac{{\sin }^{2}a}{{\sin }^{2}a}-\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}}=\frac{\frac{\cos a}{\sin a}}{1-\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}}=\frac{ctga}{1-ct{g}^{2}a}=\frac{\frac{3}{4}}{1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=$$

$$\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a} = \frac{\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a}}{\frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} — \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}} = \frac{\frac{\cos a}{\sin a}}{1 — \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}} = \frac{ctg \, a}{1 — ctg^2 a} = \frac{\frac{3}{4}}{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{3}{4}}{1 — \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{16}{16} — \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} : \frac{7}{16} = \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 7} = \frac{48}{28} = \frac{12}{7} = 1 \frac{5}{7};$$

Ответ: $1 \frac{5}{7}$.

Задача:

Вычислить:

$$\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a}, \quad \text{если} \quad ctg \, a = \frac{3}{4}$$

Шаг 1: Перепишем выражение через $ctg a$

Мы видим, что в выражении есть отношение $\sin a$ и $\cos a$, а также $\sin^2 a — \cos^2 a$. Мы можем упростить его, используя известные тригонометрические тождества. В частности, заметим, что:

$$\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a}$$

можно преобразовать, разделив числитель и знаменатель на $\sin^2 a$. Давайте сделаем это:

$$\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a — \cos^2 a} = \frac{\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a}}{\frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} — \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}}$$

Шаг 2: Упростим числитель и знаменатель

Теперь давайте упростим каждый элемент числителя и знаменателя:

Числитель:

$$\frac{\sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a} = \frac{\cos a}{\sin a} = ctg a$$

Знаменатель:

$$\frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} = 1, \quad \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \cot^2 a$$

Таким образом, выражение теперь принимает вид:

$$\frac{ctg a}{1 — ctg^2 a}$$

Шаг 3: Подставим значение $ctg a = \frac{3}{4}$

Теперь, используя заданное значение $ctg a = \frac{3}{4}$, подставим его в полученную формулу:

$$\frac{ctg a}{1 — ctg^2 a} = \frac{\frac{3}{4}}{1 — \left(\frac{3}{4}\right)^2}$$

Шаг 4: Упростим знаменатель

Теперь упростим знаменатель:

$$\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$$

Таким образом, знаменатель становится:

$$1 — \frac{9}{16} = \frac{16}{16} — \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$

Шаг 5: Завершающее упрощение

Теперь можем упростить саму дробь:

$$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{4} \times \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 16}{4 \cdot 7} = \frac{48}{28}$$

Упростим дробь:

$$\frac{48}{28} = \frac{12}{7}$$

Теперь, в виде смешанного числа:

$$\frac{12}{7} = 1 \frac{5}{7}$$

Ответ:

$$1 \frac{5}{7}$$