ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1396 Алимов — Подробные Ответы

При каком наименьшем целом значении m уравнение (m — 1) х2 — 2 (m + 1) х + m — 3 = О имеет два различных действительных корня?

Уравнение:

$$(m-1)x^2 — 2(m+1)x + m-3 = 0;$$

Имеет два действительных корня при $D > 0$:

$$D = 4(m+1)^2 — 4(m-1)(m-3) > 0;$$ $$4(m^2 + 2m + 1) — 4(m^2 — 3m — m + 3) > 0;$$ $$4(m^2 + 2m + 1 — m^2 + 3m + m — 3) > 0;$$ $$4(6m — 2) > 0;$$ $$6m — 2 > 0;$$ $$6m > 2;$$ $$m > \frac{1}{3};$$

При этом при $(m-1) = 0$ получим линейное уравнение, которое имеет только один корень, следовательно:

$$m — 1 \neq 0;$$ $$m \neq 1;$$

Ответ: при $m = 2$.

Шаг 1: Исходное уравнение

Дано уравнение:

$$(m-1)x^2 — 2(m+1)x + m-3 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $x$, где коэффициенты зависят от параметра $m$. Для того чтобы уравнение имело два действительных корня, необходимо, чтобы его дискриминант $D$ был положительным.

Шаг 2: Выражение для дискриминанта

Для любого квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В нашем уравнении коэффициенты:

• $a = m — 1$,
• $b = -2(m + 1)$,
• $c = m — 3$.

Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = \left(-2(m+1)\right)^2 — 4(m-1)(m-3)$$

Шаг 3: Упростим выражение для дискриминанта

Первоначально вычислим каждое из слагаемых в выражении для дискриминанта.

Возведем в квадрат первое слагаемое:

$$\left(-2(m+1)\right)^2 = 4(m+1)^2 = 4(m^2 + 2m + 1) = 4m^2 + 8m + 4$$

Упростим второе слагаемое:

$$-4(m-1)(m-3)$$

Раскроем скобки:

$$(m-1)(m-3) = m^2 — 3m — m + 3 = m^2 — 4m + 3$$

Теперь умножим на $-4$:

$$-4(m^2 — 4m + 3) = -4m^2 + 16m — 12$$

Таким образом, дискриминант $D$ будет равен:

$$D = (4m^2 + 8m + 4) + (-4m^2 + 16m — 12)$$

Шаг 4: Упростим дискриминант

Теперь сложим подобные члены:

$$D = (4m^2 — 4m^2) + (8m + 16m) + (4 — 12)$$ $$D = 0m^2 + 24m — 8$$ $$D = 24m — 8$$

Шаг 5: Условие для двух действительных корней

Для того чтобы уравнение имело два действительных корня, необходимо, чтобы дискриминант $D$ был положительным:

$$D > 0$$

Подставляем выражение для $D$:

$$24m — 8 > 0$$

Теперь решим неравенство:

$$24m > 8$$ $$m > \frac{8}{24}$$ $$m > \frac{1}{3}$$

Шаг 6: Исключение случая $m = 1$

Для значения $m = 1$ уравнение становится линейным. Давайте рассмотрим этот случай.

Подставим $m = 1$ в исходное уравнение:

$$(1 — 1)x^2 — 2(1 + 1)x + 1 — 3 = 0$$ $$0 \cdot x^2 — 4x — 2 = 0$$ $$-4x — 2 = 0$$

Решим это линейное уравнение:

$$-4x = 2$$ $$x = -\frac{1}{2}$$

При $m = 1$ уравнение имеет один корень, а не два. Поэтому $m = 1$ исключается из решений.

Шаг 7: Итоговое решение

Мы нашли, что для того чтобы уравнение имело два действительных корня, $m$ должно быть больше $\frac{1}{3}$, при этом $m \neq 1$.

Таким образом, решение задачи:

$$m > \frac{1}{3}, \quad m \neq 1$$

Ответ: $m = 2$ удовлетворяет этим условиям.