ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 661 Алимов — Подробные Ответы

1. 6 sin2x — cos x + 6 = 0;
2. 8 cos2x — 12 sin x + 7 = 0.

$6 \sin^2 x — \cos x + 6 = 0$;

$6(1 — \cos^2 x) — \cos x + 6 = 0$;

$6 — 6 \cos^2 x — \cos x + 6 = 0$;

$6 \cos^2 x + \cos x — 12 = 0$;

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$6y^2 + y — 12 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 \cdot 12 = 1 + 288 = 289 = 17^2$, тогда:

$y_1 = \frac{-1 — 17}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$ и $y_2 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$;

Так как $|y| > 1$, то корней нет;

Ответ: корней нет;

$8 \cos^2 x — 12 \sin x + 7 = 0$;

$8(1 — \sin^2 x) — 12 \sin x + 7 = 0$;

$8 — 8 \sin^2 x — 12 \sin x + 7 = 0$;

$8 \sin^2 x + 12 \sin x — 15 = 0$;

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$8y^2 + 12y — 15 = 0$;

$D = 12^2 + 4 \cdot 8 \cdot 15 = 144 + 480 = 624 = 16 \cdot 39$, тогда:

$y = \frac{-12 \pm 4\sqrt{39}}{2 \cdot 8} = \frac{-3 \pm \sqrt{39}}{4}$;

Первое уравнение:

$\sin x = \frac{-3 — \sqrt{39}}{4}$ — корней нет;

Второе уравнение:

$\sin x = \frac{-3 + \sqrt{39}}{4}$;

$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{39} — 3}{4} + \pi n$;

Ответ: $(-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{39} — 3}{4} + \pi n$.

1) Уравнение:

$$6 \sin^2 x — \cos x + 6 = 0$$

Шаг 1. Используем тригонометрическую тождественность:

$$\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$$

Подставим это в уравнение:

$$6(1 — \cos^2 x) — \cos x + 6 = 0$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$6 \cdot 1 — 6 \cos^2 x — \cos x + 6 = 0$$ $$6 — 6 \cos^2 x — \cos x + 6 = 0$$

Шаг 3. Сложим константы:

$$6 + 6 = 12$$

Получим:

$$12 — 6 \cos^2 x — \cos x = 0$$

Шаг 4. Перенесём все члены в одну сторону:

$$-6 \cos^2 x — \cos x + 12 = 0$$

Чтобы удобнее было решать, умножим обе части на $-1$ (чтобы коэффициент при $\cos^2 x$ был положительным):

$$6 \cos^2 x + \cos x — 12 = 0$$

Шаг 5. Сделаем замену:

Пусть

$$y = \cos x$$

Тогда уравнение примет вид:

$$6 y^2 + y — 12 = 0$$

Шаг 6. Решим квадратное уравнение по формуле:

Дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-12) = 1 + 288 = 289$$

Шаг 7. Найдём корни:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 17}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 17}{12}$$

Шаг 8. Первый корень:

$$y_1 = \frac{-1 — 17}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} = -1.5$$

Шаг 9. Второй корень:

$$y_2 = \frac{-1 + 17}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \approx 1.3333$$

Шаг 10. Анализ корней:

Поскольку $\cos x$ принимает значения только в интервале $[-1; 1]$, а оба корня выходят за этот диапазон:

$$y_1 = -1.5 < -1, \quad y_2 = 1.3333 > 1$$

то корней у уравнения нет.

Ответ к первому уравнению:

$$\boxed{ \text{корней нет} }$$

2) Уравнение:

$$8 \cos^2 x — 12 \sin x + 7 = 0$$

Шаг 1. Используем тригонометрическую тождественность:

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$$

Подставим:

$$8(1 — \sin^2 x) — 12 \sin x + 7 = 0$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$8 — 8 \sin^2 x — 12 \sin x + 7 = 0$$

Шаг 3. Сложим константы:

$$8 + 7 = 15$$

Получим:

$$15 — 8 \sin^2 x — 12 \sin x = 0$$

Шаг 4. Перенесём все члены в одну сторону:

$$-8 \sin^2 x — 12 \sin x + 15 = 0$$

Умножим обе части на $-1$:

$$8 \sin^2 x + 12 \sin x — 15 = 0$$

Шаг 5. Сделаем замену:

Пусть

$$y = \sin x$$

Тогда уравнение становится:

$$8 y^2 + 12 y — 15 = 0$$

Шаг 6. Найдём дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 12^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-15) = 144 + 480 = 624$$

Шаг 7. Представим дискриминант в виде:

$$624 = 16 \times 39$$

Тогда

$$\sqrt{624} = \sqrt{16 \times 39} = 4 \sqrt{39}$$

Шаг 8. Найдём корни:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm 4 \sqrt{39}}{2 \cdot 8} = \frac{-12 \pm 4 \sqrt{39}}{16}$$

Сократим:

$$y = \frac{-3 \pm \sqrt{39}}{4}$$

Шаг 9. Первый корень:

$$y_1 = \frac{-3 — \sqrt{39}}{4}$$

Оценим численно:

$$\sqrt{39} \approx 6.244997$$ $$y_1 \approx \frac{-3 — 6.244997}{4} = \frac{-9.244997}{4} = -2.311249$$

Шаг 10. Второй корень:

$$y_2 = \frac{-3 + \sqrt{39}}{4} \approx \frac{-3 + 6.244997}{4} = \frac{3.244997}{4} = 0.811249$$

Шаг 11. Анализ первого корня:

$$y_1 \approx -2.311249 < -1$$

Так как $\sin x$ принимает значения только в интервале $[-1; 1]$, то первого корня корней нет.

Шаг 12. Второй корень подлежит рассмотрению:

$$\sin x = \frac{-3 + \sqrt{39}}{4} \approx 0.811249$$

Шаг 13. Решаем уравнение $\sin x = y_2$:

Общее решение уравнения $\sin x = a$ при $a \in [-1,1]$ записывается так:

$$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 14. Подставим $a = \frac{\sqrt{39} — 3}{4}$:

$$x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{39} — 3}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ ко второму уравнению:

$$\boxed{ x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{39} — 3}{4} + \pi n }$$

Итог:

• В первом уравнении корней нет.
• Во втором уравнении

$$x = (-1)^n \arcsin \frac{\sqrt{39} — 3}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$