ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 128 Алимов — Подробные Ответы

Пользуясь рисунком 13 (с. 45), найти промежутки, на которых график функции: 1) у = х1/5; 2) у = х5/3 — лежит выше (ниже) графика функции у = х.

Найти промежутки, на которых график функции лежит выше (ниже) графика функции $y = x$.

1) $y = x^{\frac{1}{5}}$

График лежит выше:

$$x^{\frac{1}{5}} > x;$$

$$x^{\frac{1}{5}} — x > 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{4}{5}} \right) > 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( x^{\frac{4}{5}} — 1 \right) < 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( x^{\frac{2}{5}} — 1 \right) \left( x^{\frac{2}{5}} + 1 \right) < 0;$$

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( x^{\frac{1}{5}} — 1 \right) \left( x^{\frac{1}{5}} + 1 \right) < 0;$$

$$x < -1 \text{ и } 0 < x < 1;$$

Функция определена при: $x \geq 0$

Ответ: выше при $x \in (0; 1)$ и ниже при $x \in (1; +\infty)$

2) $y = x^{\frac{5}{3}}$

График лежит выше:

$$x^{\frac{5}{3}} > x;$$

$$x^{\frac{5}{3}} — x > 0;$$

$$x \cdot \left( x^{\frac{2}{3}} — 1 \right) > 0;$$

$$\left( x^{\frac{1}{3}} + 1 \right) \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot \left( x^{\frac{1}{3}} — 1 \right) > 0;$$

$$-1 < x < 0 \text{ и } x > 1;$$

Функция определена при: $x \geq 0$

Ответ: выше при $x \in (1; +\infty)$ и ниже при $x \in (0; 1)$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{1) выше при }x\in (0;1),\text{ ниже при }x\in (1;+\mathrm{\infty });}}$$

$$\boxed{ \text{1) выше при } x \in (0; 1), \text{ ниже при } x \in (1; +\infty); \\ \text{2) выше при } x \in (1; +\infty), \text{ ниже при } x \in (0; 1). }$$

Задача:

Найти промежутки, на которых график функции $y = f(x)$ лежит выше (ниже) графика функции $y = x$, т.е. решить неравенство $f(x) > x$ и $f(x) < x$.

Решение для функции $y = x^{\frac{1}{5}}$

Шаг 1. Исходное неравенство

Определим, когда выполняется условие:

$$x^{\frac{1}{5}} > x$$

Преобразуем его:

$$x^{\frac{1}{5}} — x > 0.$$

Вынесем $x^{\frac{1}{5}}$ за скобки:

$$x^{\frac{1}{5}} \cdot \left( 1 — x^{\frac{4}{5}} \right) > 0.$$

Шаг 2. Анализ множителей

Рассмотрим два множителя:

• $x^{\frac{1}{5}}$ – пятая степень числа $x$, определена при $x \geq 0$.
• $1 — x^{\frac{4}{5}}$ – разность единицы и положительного числа.

Неравенство $x^{\frac{1}{5}} \cdot (1 — x^{\frac{4}{5}}) > 0$ выполняется, когда:

$x^{\frac{1}{5}} > 0$ и $1 — x^{\frac{4}{5}} > 0 \Rightarrow x^{\frac{4}{5}} < 1$, т.е. $0 < x < 1$.

Таким образом, график $y = x^{\frac{1}{5}}$ выше графика $y = x$ на интервале $(0; 1)$, а ниже — при $x > 1$.

Ответ:

График выше: $x \in (0; 1)$
График ниже: $x \in (1; +\infty)$

Решение для функции $y = x^{\frac{5}{3}}$

Шаг 1. Исходное неравенство

Определим, когда выполняется условие:

$$x^{\frac{5}{3}} > x.$$

Преобразуем его:

$$x^{\frac{5}{3}} — x > 0.$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x \cdot (x^{\frac{2}{3}} — 1) > 0.$$

Шаг 2. Анализ множителей

Рассмотрим два множителя:

$x$ – обычное число.

$x^{\frac{2}{3}} — 1$ – выражение, зависящее от $x$.

Неравенство $x \cdot (x^{\frac{2}{3}} — 1) > 0$ выполняется, когда:

$x > 0$ и  $x^{\frac{2}{3}} > 1 \Rightarrow x > 1$

Таким образом, график $y = x^{\frac{5}{3}}$ выше графика $y = x$ на интервале $(1; +\infty)$, а ниже — при $0 < x < 1$.

Ответ:
График выше: $x \in (1; +\infty)$

График ниже: $x \in (0; 1)$

Окончательный ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \text{1) выше при }x\in (0;1),\text{ ниже при }x\in (1;+\mathrm{\infty });}}$$

$$\boxed{ \text{1) выше при } x \in (0; 1), \text{ ниже при } x \in (1; +\infty); \\ \text{2) выше при } x \in (1; +\infty), \text{ ниже при } x \in (0; 1). }$$