ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 652 Алимов — Подробные Ответы

1. корень 2 cos2x < -1;
2. 2sin3x > -1;
3. sin(x+пи/4) < =корень 2/2;
4. cos(x-пи/6) > =корень 3/2.

1. $\sqrt{2} \cos 2x \leq 1$;
   $\cos 2x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$;
   $\arccos \frac{1}{\sqrt{2}} + 2\pi n \leq 2x \leq 2\pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} + 2\pi n$;
   $\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq 2x \leq 2\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
   $\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{7\pi}{4} + 2\pi n$;
   Ответ: $\frac{\pi}{8} + \pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{8} + \pi n$.
2. $2 \sin 3x > -1$;
   $\sin 3x > -\frac{1}{2}$;
   $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n < 3x < \pi — \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$;
   $-\arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n < 3x < \pi + \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n$;
   $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$;
   Ответ: $-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$.
3. $\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$;
   $-\pi — \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n$;
   $-\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
   $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;
   $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n$;
   Ответ: $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n$.
4. $\cos \left(x — \frac{\pi}{6}\right) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$;
   $-\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n \leq x — \frac{\pi}{6} \leq \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n$;
   $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x — \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
   $-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x — \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
   $0 + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;
   Ответ: $2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Задача 1: $\sqrt{2} \cos 2x \leq 1$

Шаг 1: Преобразуем исходное неравенство.

Начнем с того, что разделим обе части неравенства на $\sqrt{2}$, чтобы избавиться от множителя:

$$\sqrt{2} \cos 2x \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \cos 2x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Шаг 2: Раскроем неравенство.

Значение $\frac{1}{\sqrt{2}}$ известно:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4}.$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$\cos 2x \leq \cos \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 3: Решение неравенства $\cos 2x \leq \cos \frac{\pi}{4}$.

Для неравенства $\cos \theta \leq \cos \alpha$ верно, что $\theta$ лежит в интервале от $\arccos(\cos \alpha)$ до $2\pi — \arccos(\cos \alpha)$, с учётом периодичности функции косинуса:

$$\arccos \frac{1}{\sqrt{2}} + 2\pi n \leq 2x \leq 2\pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} + 2\pi n.$$

Подставим значение $\arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$:

$$\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq 2x \leq 2\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 4: Упростим неравенство для $x$.

Теперь разделим обе части неравенства на 2, чтобы получить решение для $x$:

$$\frac{\pi}{8} + \pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{8} + \pi n.$$

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{8} + \pi n$.

Задача 2: $2 \sin 3x > -1$

Шаг 1: Преобразуем неравенство.

Разделим обе части неравенства на 2:

$$2 \sin 3x > -1 \quad \Rightarrow \quad \sin 3x > -\frac{1}{2}.$$

Шаг 2: Решение неравенства $\sin 3x > -\frac{1}{2}$.

Значение $-\frac{1}{2}$ соответствует углу $\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}$, и мы знаем, что функция синуса повторяется с периодом $2\pi$. Для неравенства $\sin \theta > -\frac{1}{2}$ решение будет на интервале:

$$\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi n < 3x < \pi — \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi n.$$

Подставим значение $\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}$:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n < 3x < \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Упростим неравенство для $x$.

Теперь, чтобы решить для $x$, разделим обе части на 3:

$$-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: $-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} < x < \frac{7\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}$.

Задача 3: $\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Преобразуем неравенство.

Значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$ равно $\sin \frac{\pi}{4}$, следовательно, неравенство можно записать так:

$$\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq \sin \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2: Решение неравенства $\sin \theta \leq \sin \alpha$.

Решение неравенства $\sin \theta \leq \sin \alpha$ для функции синуса:

$$-\pi — \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n.$$

Поскольку $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, получаем:

$$-\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Упростим неравенство для $x$.

Теперь упростим выражение для $x$:

$$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \leq x + \frac{\pi}{4} \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Отнимаем $\frac{\pi}{4}$ с обеих сторон:

$$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n.$$

Ответ: $-\frac{3\pi}{2} + 2\pi n \leq x \leq 2\pi n$.

Задача 4: $\cos \left(x — \frac{\pi}{6}\right) \geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Преобразуем неравенство.

Значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует $\cos \frac{\pi}{6}$, и неравенство можно записать как:

$$\cos \left(x — \frac{\pi}{6}\right) \geq \cos \frac{\pi}{6}.$$

Шаг 2: Решение неравенства $\cos \theta \geq \cos \alpha$.

Решение неравенства $\cos \theta \geq \cos \alpha$ будет на интервале:

$$-\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n \leq x — \frac{\pi}{6} \leq \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n.$$

Поскольку $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$$-\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x — \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Упростим неравенство для $x$.

Теперь, после добавления $\frac{\pi}{6}$ к обеим частям:

$$0 + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ: $2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.