ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 839 Алимов — Подробные Ответы

1. cosx/ex;
2. 3x/sinx;
3. lnx*cos3x;
4. log3(x) * sin2x.

1) $f(x) = \frac{\cos x}{e^x}$;

$f'(x) = \frac{(\cos x)’ \cdot e^x — \cos x \cdot (e^x)’}{(e^x)^2}$;

$f'(x) = \frac{-\sin x \cdot e^x — \cos x \cdot e^x}{(e^x)^2}$;

$f'(x) = -\frac{\sin x + \cos x}{e^x}$;

2) $f(x) = \frac{3^x}{\sin x}$;

$f'(x) = \frac{(3^x)’ \cdot \sin x — 3^x \cdot (\sin x)’}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = \frac{3^x \cdot \ln 3 \cdot \sin x — 3^x \cdot \cos x}{\sin^2 x}$;

$f'(x) = \frac{3^x \cdot (\ln 3 \cdot \sin x — \cos x)}{\sin^2 x}$;

3) $f(x) = \ln x \cdot \cos 3x$;

$f'(x) = (\ln x)’ \cdot \cos 3x + \ln x \cdot (\cos 3x)’$;

$f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \cos 3x + \ln x \cdot (-3 \sin 3x)$;

$f'(x) = \frac{\cos 3x}{x} — 3 \ln x \cdot \sin 3x$;

4) $f(x) = \log_3 x \cdot \sin 2x$;

$f'(x) = (\log_3 x)’ \cdot \sin 2x + \log_3 x \cdot (\sin 2x)’$;

$f'(x) = \frac{1}{x \ln 3} \cdot \sin 2x + \log_3 x \cdot 2 \cos 2x$;

$f'(x) = \frac{\sin 2x}{x \ln 3} + 2 \log_3 x \cdot \cos 2x$

1) $f(x) = \frac{\cos x}{e^x}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования для дроби

Для дифференцирования функции вида $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ используем правило дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2},$$

где $g(x) = \cos x$, а $h(x) = e^x$.

Шаг 2: Находим производную числителя $g(x) = \cos x$

Производная от $\cos x$ по $x$ равна:

$$g'(x) = -\sin x.$$

Шаг 3: Находим производную знаменателя $h(x) = e^x$

Производная от экспоненциальной функции $e^x$ по $x$ равна:

$$h'(x) = e^x.$$

Шаг 4: Применяем правило для дроби

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной дроби:

$$f'(x) = \frac{(-\sin x) \cdot e^x — \cos x \cdot e^x}{(e^x)^2}.$$

Шаг 5: Упрощаем выражение

В числителе можно вынести общий множитель $e^x$:

$$f'(x) = \frac{-e^x(\sin x + \cos x)}{(e^x)^2}.$$

Так как $(e^x)^2 = e^{2x}$, получаем:

$$f'(x) = -\frac{\sin x + \cos x}{e^x}.$$

2) $f(x) = \frac{3^x}{\sin x}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования для дроби

Как и в предыдущем примере, используем правило дифференцирования дроби:

$$f'(x) = \frac{g'(x) \cdot h(x) — g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2},$$

где $g(x) = 3^x$, а $h(x) = \sin x$.

Шаг 2: Находим производную числителя $g(x) = 3^x$

Для дифференцирования функции $3^x$ используем правило для экспоненциальных функций:

$$\frac{d}{dx} 3^x = 3^x \ln 3.$$

Следовательно, производная от $g(x) = 3^x$ будет:

$$g'(x) = 3^x \ln 3.$$

Шаг 3: Находим производную знаменателя $h(x) = \sin x$

Производная от $\sin x$ по $x$ равна:

$$h'(x) = \cos x.$$

Шаг 4: Применяем правило для дроби

Теперь подставим полученные производные в формулу для производной дроби:

$$f'(x) = \frac{(3^x \ln 3) \cdot \sin x — 3^x \cdot \cos x}{\sin^2 x}.$$

Шаг 5: Упрощаем выражение

В числителе можно вынести общий множитель $3^x$:

$$f'(x) = \frac{3^x \left( \ln 3 \cdot \sin x — \cos x \right)}{\sin^2 x}.$$

3) $f(x) = \ln x \cdot \cos 3x$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования для произведения

Здесь у нас произведение двух функций $\ln x$ и $\cos 3x$, и для нахождения производной этой функции применяем правило дифференцирования произведения:

$$(f(x) \cdot g(x))’ = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x),$$

где $f(x) = \ln x$, а $g(x) = \cos 3x$.

Шаг 2: Находим производную первой функции $f(x) = \ln x$

Производная от $\ln x$ по $x$ равна:

$$f'(x) = \frac{1}{x}.$$

Шаг 3: Находим производную второй функции $g(x) = \cos 3x$

Для дифференцирования $\cos 3x$ используем цепное правило. Производная от $\cos(kx)$ равна:

$$\frac{d}{dx} \cos(kx) = -k \sin(kx),$$

где $k = 3$. Следовательно,

$$g'(x) = -3 \sin 3x.$$

Шаг 4: Применяем правило произведения

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$$f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \cos 3x + \ln x \cdot (-3 \sin 3x).$$

Шаг 5: Упрощаем выражение

Приводим выражение в окончательную форму:

$$f'(x) = \frac{\cos 3x}{x} — 3 \ln x \cdot \sin 3x.$$

4) $f(x) = \log_3 x \cdot \sin 2x$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования для произведения

Здесь у нас произведение двух функций $\log_3 x$ и $\sin 2x$, и для нахождения производной этой функции также применяем правило дифференцирования произведения:

$$(f(x) \cdot g(x))’ = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x),$$

где $f(x) = \log_3 x$, а $g(x) = \sin 2x$.

Шаг 2: Находим производную первой функции $f(x) = \log_3 x$

Для дифференцирования логарифма с основанием 3 используем формулу:

$$\frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}.$$

Таким образом, для $a = 3$ производная от $\log_3 x$ будет:

$$f'(x) = \frac{1}{x \ln 3}.$$

Шаг 3: Находим производную второй функции $g(x) = \sin 2x$

Для дифференцирования $\sin 2x$ применяем стандартное правило:

$$\frac{d}{dx} \sin(kx) = k \cos(kx),$$

где $k = 2$. Следовательно,

$$g'(x) = 2 \cos 2x.$$

Шаг 4: Применяем правило произведения

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$$f'(x) = \frac{1}{x \ln 3} \cdot \sin 2x + \log_3 x \cdot 2 \cos 2x.$$

Шаг 5: Упрощаем выражение

Приводим окончательную форму выражения:

$$f'(x) = \frac{\sin 2x}{x \ln 3} + 2 \log_3 x \cdot \cos 2x.$$