ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1535 Алимов — Подробные Ответы

Исследовать функцию у = f (х) и построить её график (1535—1537).

1. f(х) = 4х3 + 6х2;
2. f (х) = 3х2 — 2х3.

1) $f(x) = 4x^3 + 6x^2$;

• Функция ни четная, ни нечетная:

  $$f(-x) = 4(-x)^3 + 6(-x)^2 = -4x^3 + 6x^2;$$

• Производная функции:

  $$f'(x) = 4(x^3)’ + 6(x^2)’ = 4 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x = 12x^2 + 12x;$$

• Промежуток возрастания:

  $$12x^2 + 12x > 0;$$ $$x^2 + x > 0;$$ $$(x + 1) \cdot x > 0;$$ $$x < -1 \text{ и } x > 0;$$

• Промежуток убывания:

  $$-1 < x < 0;$$

• Стационарные точки:

  $$x = -1 \text{ — точка максимума};$$ $$x = 0 \text{ — точка минимума};$$

• Максимум и минимум функции:

  $$y(-1) = 4 \cdot (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 = -4 + 6 = 2;$$ $$y(0) = 4 \cdot 0^3 + 6 \cdot 0^2 = 0;$$

• Координаты некоторых точек:

  $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 1 \\ \hline y & -8 & 10 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

2) $f(x) = 3x^2 — 2x^3$;

• Функция ни четная, ни нечетная:

  $$f(-x) = 3(-x)^2 — 2(-x)^3 = 3x^2 + 2x^3;$$

• Производная функции:

  $$f'(x) = 3(x^2)’ — 2(x^3)’ = 3 \cdot 2x — 2 \cdot 3x^2 = 6x — 6x^2;$$

• Промежуток возрастания:

  $$6x — 6x^2 > 0;$$ $$x — x^2 > 0;$$ $$x(1 — x) > 0;$$ $$x(x — 1) < 0;$$ $$0 < x < 1;$$

• Промежуток убывания:

  $$x \leq 0 \text{ и } x \geq 1;$$

• Стационарные точки:

  $$x = 1 \text{ — точка максимума};$$ $$x = 0 \text{ — точка минимума};$$

• Максимум и минимум функции:

  $$y(1) = 3 \cdot 1^2 — 2 \cdot 1^3 = 3 — 2 = 1;$$ $$y(0) = 3 \cdot 0^2 — 2 \cdot 0^3 = 0;$$

• Координаты некоторых точек:

  $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 2 \\ \hline y & 5 & -4 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

1) $f(x) = 4x^3 + 6x^2$

Шаг 1: Проверяем четность и нечетность функции

Четность и нечетность функции определяется следующим образом:

• Функция четная, если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$.
• Функция нечетная, если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$.

Проверим, является ли функция $f(x) = 4x^3 + 6x^2$ четной или нечетной.

1. Подставим $-x$ вместо $x$ в функцию:

   $$f(-x) = 4(-x)^3 + 6(-x)^2 = -4x^3 + 6x^2$$

2. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$:

   $$f(x) = 4x^3 + 6x^2, \quad f(-x) = -4x^3 + 6x^2$$

Мы видим, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

Шаг 2: Находим производную функции

Для нахождения производной функции $f(x) = 4x^3 + 6x^2$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x^n$ по $x$ равна $n \cdot x^{n-1}$.

Таким образом, дифференцируем каждый член:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) + \frac{d}{dx}(6x^2)$$ $$f'(x) = 4 \cdot 3x^2 + 6 \cdot 2x = 12x^2 + 12x$$

Получаем:

$$f'(x) = 12x^2 + 12x$$

Шаг 3: Находим промежутки возрастания и убывания

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нужно решить неравенство $f'(x) > 0$ для возрастания и $f'(x) < 0$ для убывания.

Решаем неравенство:

$$12x^2 + 12x > 0$$

Вынесем общий множитель $12x$:

$$12x(x + 1) > 0$$

Теперь решаем неравенство:

$$x(x + 1) > 0$$

Это произведение больше нуля, когда оба множителя либо положительны, либо оба отрицательны.

Критические точки: $x = 0$ и $x = -1$.

Теперь исследуем знак произведения на промежутках $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, \infty)$.

1. Для $x \in (-\infty, -1)$, например, $x = -2$:

   $$(-2)(-2 + 1) = (-2)(-1) = 2 > 0$$

   Значит, на промежутке $(-\infty, -1)$ функция возрастает.

2. Для $x \in (-1, 0)$, например, $x = -0.5$:

   $$(-0.5)(-0.5 + 1) = (-0.5)(0.5) = -0.25 < 0$$

   Значит, на промежутке $(-1, 0)$ функция убывает.

3. Для $x \in (0, \infty)$, например, $x = 1$:

   $$(1)(1 + 1) = (1)(2) = 2 > 0$$

   Значит, на промежутке $(0, \infty)$ функция возрастает.

Итак, промежутки возрастания: $(-\infty, -1)$ и $(0, \infty)$, промежуток убывания: $(-1, 0)$.

Шаг 4: Находим стационарные точки

Стационарные точки находятся при $f'(x) = 0$.

Решим уравнение:

$$12x^2 + 12x = 0$$

Вынесем общий множитель $12x$:

$$12x(x + 1) = 0$$

Критические точки: $x = 0$ и $x = -1$.

Точка $x = -1$ — точка максимума, точка $x = 0$ — точка минимума.

Шаг 5: Находим максимум и минимум функции

Для $x = -1$:

$$f(-1) = 4(-1)^3 + 6(-1)^2 = -4 + 6 = 2$$

Точка максимума: $x = -1, \, y = 2$.

Для $x = 0$:

$$f(0) = 4(0)^3 + 6(0)^2 = 0$$

Точка минимума: $x = 0, \, y = 0$.

Шаг 6: Координаты некоторых точек

Теперь вычислим значения функции для нескольких точек:

• Для $x = -2$:

  $$f(-2) = 4(-2)^3 + 6(-2)^2 = -32 + 24 = -8$$

• Для $x = 1$:

  $$f(1) = 4(1)^3 + 6(1)^2 = 4 + 6 = 10$$

Таким образом, таблица значений функции:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 1 \\ \hline y & -8 & 10 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 7: График функции

2) $f(x) = 3x^2 — 2x^3$

Шаг 1: Проверяем четность и нечетность функции

Аналогично первому примеру, проверяем, является ли функция четной или нечетной.

1. Подставим $-x$ вместо $x$:

   $$f(-x) = 3(-x)^2 — 2(-x)^3 = 3x^2 + 2x^3$$

2. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$:

   $$f(x) = 3x^2 — 2x^3, \quad f(-x) = 3x^2 + 2x^3$$

Мы видим, что $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, следовательно, функция ни четная, ни нечетная.

Шаг 2: Находим производную функции

Дифференцируем $f(x) = 3x^2 — 2x^3$:

$$f'(x) = 3 \cdot 2x — 2 \cdot 3x^2 = 6x — 6x^2$$

Получаем:

$$f'(x) = 6x — 6x^2$$

Шаг 3: Находим промежутки возрастания и убывания

Решаем неравенство $f'(x) > 0$:

$$6x — 6x^2 > 0$$

Вынесем общий множитель $6x$:

$$6x(1 — x) > 0$$

Теперь решаем неравенство:

$$x(1 — x) > 0$$

Это произведение больше нуля, когда $x$ и $(1 — x)$ имеют разные знаки.

Критические точки: $x = 0$ и $x = 1$.

Теперь исследуем знак на промежутках $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, \infty)$.

1. Для $x \in (0, 1)$, например, $x = 0.5$:

   $$(0.5)(1 — 0.5) = (0.5)(0.5) = 0.25 > 0$$

   Значит, на промежутке $(0, 1)$ функция возрастает.

2. Для $x \in (-\infty, 0)$, например, $x = -1$:

   $$(-1)(1 — (-1)) = (-1)(2) = -2 < 0$$

   Значит, на промежутке $(-\infty, 0)$ функция убывает.

3. Для $x \in (1, \infty)$, например, $x = 2$:

   $$(2)(1 — 2) = (2)(-1) = -2 < 0$$

   Значит, на промежутке $(1, \infty)$ функция убывает.

Итак, промежутки возрастания: $(0, 1)$, промежутки убывания: $(-\infty, 0)$ и $(1, \infty)$.

Шаг 4: Находим стационарные точки

Стационарные точки находятся при $f'(x) = 0$:

$$6x — 6x^2 = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$6x(1 — x) = 0$$

Критические точки: $x = 0$ и $x = 1$.

Точка $x = 1$ — точка максимума, точка $x = 0$ — точка минимума.

Шаг 5: Находим максимум и минимум функции

Для $x = 1$:

$$f(1) = 3(1)^2 — 2(1)^3 = 3 — 2 = 1$$

Точка максимума: $x = 1, \, y = 1$.

Для $x = 0$:

$$f(0) = 3(0)^2 — 2(0)^3 = 0$$

Точка минимума: $x = 0, \, y = 0$.

Шаг 6: Координаты некоторых точек

Вычислим значения функции для нескольких точек:

• Для $x = -1$:

  $$f(-1) = 3(-1)^2 — 2(-1)^3 = 3 + 2 = 5$$

• Для $x = 2$:

  $$f(2) = 3(2)^2 — 2(2)^3 = 12 — 16 = -4$$

Таблица значений:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -1 & 2 \\ \hline y & 5 & -4 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 7: График функции

$y = 0$