ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 565 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения sina/(sin3a + 3co3a) , если tga=2.

Значение $\frac{\sin a}{\sin^3 a + 3 \cos^3 a}$, если $\operatorname{tg} a = 2$;

$$\frac{\sin a}{\sin^3 a + 3 \cos^3 a} = \frac{\frac{\sin a}{\cos^3 a}}{\frac{\sin^3 a}{\cos^3 a} + 3 \cdot \frac{\cos^3 a}{\cos^3 a}} = \frac{\operatorname{tg} a \cdot \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\cos^2 a}}{\operatorname{tg}^3 a + 3} =$$ $$= \frac{\operatorname{tg} a \cdot (1 + \operatorname{tg}^2 a)}{\operatorname{tg}^3 a + 3} = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg}^3 a}{\operatorname{tg}^3 a + 3} = \frac{2 + 2^3}{2^3 + 3} = \frac{2 + 8}{8 + 3} = \frac{10}{11};$$

Ответ: $\frac{10}{11}$.

Задача:

Вычислить значение выражения

$$\frac{\sin a}{\sin^3 a + 3 \cos^3 a},$$

если

$$\operatorname{tg} a = 2.$$

Шаг 1: Выразим всё через $\operatorname{tg} a$

Из определения:

$$\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a} = 2 \Rightarrow \sin a = 2 \cos a$$

Шаг 2: Выражение с кубами: преобразуем знаменатель

Имеем:

$$\frac{\sin a}{\sin^3 a + 3 \cos^3 a}$$

Мы хотим выразить всё через одну функцию, например, через $\cos a$.

Из предыдущего шага:

$$\sin a = 2 \cos a \Rightarrow \sin^3 a = (2 \cos a)^3 = 8 \cos^3 a$$

Подставим в знаменатель:

$$\sin^3 a + 3 \cos^3 a = 8 \cos^3 a + 3 \cos^3 a = 11 \cos^3 a$$

А числитель:

$$\sin a = 2 \cos a$$

Подставим в выражение:

$$\frac{2 \cos a}{11 \cos^3 a} = \frac{2}{11 \cos^2 a}$$

Шаг 3: Выразим $\cos^2 a$ через $\operatorname{tg} a$

Из тождества:

$$1 + \operatorname{tg}^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}$$

Значит:

$$\cos^2 a = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 a} = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5}$$

Шаг 4: Подставим $\cos^2 a$ в выражение

$$\frac{2}{11 \cdot \cos^2 a} = \frac{2}{11 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{2}{\frac{11}{5}} = \frac{2 \cdot 5}{11} = \frac{10}{11}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{10}{11}}$$

$$\frac{\sin a}{\sin^3 a + 3 \cos^3 a} = \frac{10}{11}, \quad \text{если } \operatorname{tg} a = 2.$$