1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
GDZ
ГДЗ Алимов 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники — Ответы на Любые Задачи Бесплатно
ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре — Онлайн Решение Задач Бесплатно
ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре Учебник 📕 Колягин, Ткачева — Все Части
ГДЗ Алимов 10-11 Класс по Алгебре Учебник 📕 Колягин, Ткачева — Все Части
ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 492 Алимов - Подробные Ответы
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.
10 класс
Класс
10
Предмет
ГДЗ Алимов 10, 11 Класс по Алгебре Все Учебники - Ответы на Любые Задачи Бесплатно
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.
Год
2015-2024.
Издательство
Просвещение.
Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 492 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Доказать тождество:

  1. sin(a+b)/sin (a-b) = (tga+tgb)/(tga-tgb);
  2. cos(a-b)/cos(a+b) = (ctga*ctgb+1)/(ctga*ctgb-1);
  3. cos(пи/4+a) = корень 2/2 (cosa — sina);
  4. cos(a+b)/cosasinb = ctgb-tga;
  5. cosacosb = 1/2(cos(a+b) + cos(a-b));
  6. sinasinb=1/2(cos(a-b) — cos(a+b)).
Краткий ответ

Доказать тождество:

1.

sin⁡(a+β)sin⁡(a−β)=tg⁡a+tg⁡βtg⁡a−tg⁡β;\frac{\sin(a + \beta)}{\sin(a — \beta)} = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta};

Преобразуем левую часть равенства:

sin⁡(a+β)sin⁡(a−β)=sin⁡a⋅cos⁡β+cos⁡a⋅sin⁡βsin⁡a⋅cos⁡β−cos⁡a⋅sin⁡β=\frac{\sin(a + \beta)}{\sin(a — \beta)} = \frac{\sin a \cdot \cos \beta + \cos a \cdot \sin \beta}{\sin a \cdot \cos \beta — \cos a \cdot \sin \beta} = =sin⁡acos⁡a+sin⁡βcos⁡βsin⁡acos⁡a−sin⁡βcos⁡β=tg⁡a+tg⁡βtg⁡a−tg⁡β;= \frac{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta}} = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} \beta}{\operatorname{tg} a — \operatorname{tg} \beta};

Тождество доказано.

2.

cos⁡(a−β)cos⁡(a+β)=ctg⁡a⋅ctg⁡β+1ctg⁡a⋅ctg⁡β−1;\frac{\cos(a — \beta)}{\cos(a + \beta)} = \frac{\operatorname{ctg} a \cdot \operatorname{ctg} \beta + 1}{\operatorname{ctg} a \cdot \operatorname{ctg} \beta — 1};

Преобразуем левую часть равенства:

cos⁡(a−β)cos⁡(a+β)=cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡βcos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β=\frac{\cos(a — \beta)}{\cos(a + \beta)} = \frac{\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta} = =cos⁡asin⁡a⋅cos⁡βsin⁡β+1cos⁡asin⁡a⋅cos⁡βsin⁡β−1=ctg⁡a⋅ctg⁡β+1ctg⁡a⋅ctg⁡β−1;= \frac{\frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + 1}{\frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} — 1} = \frac{\operatorname{ctg} a \cdot \operatorname{ctg} \beta + 1}{\operatorname{ctg} a \cdot \operatorname{ctg} \beta — 1};

Тождество доказано.

3.

cos⁡(π4+a)=22(cos⁡a−sin⁡a);\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos a — \sin a);

Преобразуем левую часть равенства:

cos⁡(π4+a)=cos⁡π4⋅cos⁡a−sin⁡π4⋅sin⁡a=22cos⁡a−22sin⁡a=\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a = =22(cos⁡a−sin⁡a);= \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos a — \sin a);

Тождество доказано.

4.

cos⁡(a+β)cos⁡a⋅sin⁡β=ctg⁡β−tg⁡a;\frac{\cos(a + \beta)}{\cos a \cdot \sin \beta} = \operatorname{ctg} \beta — \operatorname{tg} a;

Преобразуем левую часть равенства:

cos⁡(a+β)cos⁡a⋅sin⁡β=cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡βcos⁡a⋅sin⁡β=cos⁡βsin⁡β−sin⁡acos⁡a=ctg⁡β−tg⁡a;\frac{\cos(a + \beta)}{\cos a \cdot \sin \beta} = \frac{\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta}{\cos a \cdot \sin \beta} = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} — \frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{ctg} \beta — \operatorname{tg} a;

Тождество доказано.

5.

cos⁡a⋅cos⁡β=12(cos⁡(a+β)+cos⁡(a−β));\cos a \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} (\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta));

Преобразуем правую часть тождества:

12(cos⁡(a+β)+cos⁡(a−β))=\frac{1}{2} (\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)) = =12(cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β+cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β)== \frac{1}{2} (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta + \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta) = =12⋅2cos⁡a⋅cos⁡β=cos⁡a⋅cos⁡β;= \frac{1}{2} \cdot 2 \cos a \cdot \cos \beta = \cos a \cdot \cos \beta;

Тождество доказано.

6.

sin⁡a⋅sin⁡β=12(cos⁡(a−β)−cos⁡(a+β));\sin a \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta));

Преобразуем правую часть тождества:

12(cos⁡(a−β)−cos⁡(a+β))=\frac{1}{2} (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)) = =12(cos⁡a⋅cos⁡β+sin⁡a⋅sin⁡β−(cos⁡a⋅cos⁡β−sin⁡a⋅sin⁡β))== \frac{1}{2} (\cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta — (\cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta)) = =12⋅2sin⁡a⋅sin⁡β=sin⁡a⋅sin⁡β;= \frac{1}{2} \cdot 2 \sin a \cdot \sin \beta = \sin a \cdot \sin \beta;

Тождество доказано.

Подробный ответ

Задача: доказать шесть тригонометрических тождеств.

1)

sin⁡(a+β)sin⁡(a−β)=tan⁡a+tan⁡βtan⁡a−tan⁡β\frac{\sin(a + \beta)}{\sin(a — \beta)} = \frac{\tan a + \tan \beta}{\tan a — \tan \beta}

Шаг 1: Разложим синусы суммы и разности по формулам:

sin⁡(a+β)=sin⁡acos⁡β+cos⁡asin⁡β,\sin(a + \beta) = \sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta, sin⁡(a−β)=sin⁡acos⁡β−cos⁡asin⁡β.\sin(a — \beta) = \sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta.

Шаг 2: Подставляем в левую часть:

sin⁡(a+β)sin⁡(a−β)=sin⁡acos⁡β+cos⁡asin⁡βsin⁡acos⁡β−cos⁡asin⁡β.\frac{\sin(a + \beta)}{\sin(a — \beta)} = \frac{\sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta}{\sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta}.

Шаг 3: Делим числитель и знаменатель на cos⁡acos⁡β\cos a \cos \beta:

=sin⁡acos⁡a+sin⁡βcos⁡βsin⁡acos⁡a−sin⁡βcos⁡β=tan⁡a+tan⁡βtan⁡a−tan⁡β.= \frac{\frac{\sin a}{\cos a} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{\frac{\sin a}{\cos a} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta}} = \frac{\tan a + \tan \beta}{\tan a — \tan \beta}.

Тождество доказано.

2)

cos⁡(a−β)cos⁡(a+β)=cot⁡a⋅cot⁡β+1cot⁡a⋅cot⁡β−1\frac{\cos(a — \beta)}{\cos(a + \beta)} = \frac{\cot a \cdot \cot \beta + 1}{\cot a \cdot \cot \beta — 1}

Шаг 1: Разложим косинусы суммы и разности:

cos⁡(a−β)=cos⁡acos⁡β+sin⁡asin⁡β,\cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta, cos⁡(a+β)=cos⁡acos⁡β−sin⁡asin⁡β.\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta.

Шаг 2: Подставляем в левую часть:

cos⁡(a−β)cos⁡(a+β)=cos⁡acos⁡β+sin⁡asin⁡βcos⁡acos⁡β−sin⁡asin⁡β.\frac{\cos(a — \beta)}{\cos(a + \beta)} = \frac{\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta}{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta}.

Шаг 3: Делим числитель и знаменатель на sin⁡asin⁡β\sin a \sin \beta:

=cos⁡asin⁡a⋅cos⁡βsin⁡β+1cos⁡asin⁡a⋅cos⁡βsin⁡β−1=cot⁡a⋅cot⁡β+1cot⁡a⋅cot⁡β−1.= \frac{\frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} + 1}{\frac{\cos a}{\sin a} \cdot \frac{\cos \beta}{\sin \beta} — 1} = \frac{\cot a \cdot \cot \beta + 1}{\cot a \cdot \cot \beta — 1}.

Тождество доказано.

3)

cos⁡(π4+a)=22(cos⁡a−sin⁡a)\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos a — \sin a)

Шаг 1: Раскрываем по формуле косинуса суммы:

cos⁡(π4+a)=cos⁡π4cos⁡a−sin⁡π4sin⁡a.\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \sin a.

Шаг 2: Подставляем значения:

cos⁡π4=sin⁡π4=22,\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2},

следовательно

cos⁡(π4+a)=22cos⁡a−22sin⁡a=22(cos⁡a−sin⁡a).\cos\left(\frac{\pi}{4} + a\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a = \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos a — \sin a).

Тождество доказано.

4)

cos⁡(a+β)cos⁡a⋅sin⁡β=cot⁡β−tan⁡a\frac{\cos(a + \beta)}{\cos a \cdot \sin \beta} = \cot \beta — \tan a

Шаг 1: Раскрываем cos⁡(a+β)\cos(a + \beta):

cos⁡(a+β)=cos⁡acos⁡β−sin⁡asin⁡β.\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta.

Шаг 2: Подставляем в левую часть:

cos⁡(a+β)cos⁡asin⁡β=cos⁡acos⁡β−sin⁡asin⁡βcos⁡asin⁡β=cos⁡βsin⁡β−sin⁡acos⁡a=cot⁡β−tan⁡a.\frac{\cos(a + \beta)}{\cos a \sin \beta} = \frac{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta}{\cos a \sin \beta} = \frac{\cos \beta}{\sin \beta} — \frac{\sin a}{\cos a} = \cot \beta — \tan a.

Тождество доказано.

5)

cos⁡a⋅cos⁡β=12(cos⁡(a+β)+cos⁡(a−β))\cos a \cdot \cos \beta = \frac{1}{2} (\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta))

Шаг 1: Раскрываем суммы косинусов:

cos⁡(a+β)=cos⁡acos⁡β−sin⁡asin⁡β,\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta, cos⁡(a−β)=cos⁡acos⁡β+sin⁡asin⁡β.\cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta.

Шаг 2: Складываем:

cos⁡(a+β)+cos⁡(a−β)=2cos⁡acos⁡β.\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta) = 2 \cos a \cos \beta.

Шаг 3: Делим на 2:

12(cos⁡(a+β)+cos⁡(a−β))=cos⁡acos⁡β.\frac{1}{2} (\cos(a + \beta) + \cos(a — \beta)) = \cos a \cos \beta.

Тождество доказано.

6)

sin⁡a⋅sin⁡β=12(cos⁡(a−β)−cos⁡(a+β))\sin a \cdot \sin \beta = \frac{1}{2} (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta))

Шаг 1: Раскрываем косинусы:

cos⁡(a−β)=cos⁡acos⁡β+sin⁡asin⁡β,\cos(a — \beta) = \cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta, cos⁡(a+β)=cos⁡acos⁡β−sin⁡asin⁡β.\cos(a + \beta) = \cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta.

Шаг 2: Вычитаем:

cos⁡(a−β)−cos⁡(a+β)=2sin⁡asin⁡β.\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta) = 2 \sin a \sin \beta.

Шаг 3: Делим на 2:

12(cos⁡(a−β)−cos⁡(a+β))=sin⁡asin⁡β.\frac{1}{2} (\cos(a — \beta) — \cos(a + \beta)) = \sin a \sin \beta.

Тождество доказано.

Оцени решение
← Предыдущий Следующий →
Сообщить об ошибке
Общая оценка
4.3 / 5
Комментарии
  • 🙂
  • 😁
  • 🤣
  • 🙃
  • 😊
  • 😍
  • 😐
  • 😡
  • 😎
  • 🙁
  • 😩
  • 😱
  • 😢
  • 💩
  • 💣
  • 💯
  • 👍
  • 👎
В ответ юзеру:
Редактирование комментария

Оставь свой отзыв 💬

Комментариев пока нет, будьте первым!

Другие предметы
Алгебра
10 класс
10