ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 488 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить cos (a + b) и cos (a — b), если sin a =-3/5, 3пи/2 < a < 2 пи, и sinb=8/17, 0 < b < пи/2.

Вычислить $\cos(a + \beta)$ и $\cos(a — \beta)$, если:

$$\sin a = -\frac{3}{5} \quad \text{и} \quad \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi;$$ $$\sin \beta = \frac{8}{17} \quad \text{и} \quad 0 < \beta < \frac{\pi}{2};$$

Точка, соответствующая повороту на угол $a$, лежит в IV четверти:

$$\cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a} = \sqrt{1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$

Точка, соответствующая повороту на угол $\beta$, лежит в I четверти:

$$\cos \beta = \sqrt{1 — \sin^2 \beta} = \sqrt{1 — \left(\frac{8}{17}\right)^2} = \sqrt{\frac{289}{289} — \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17};$$

Значение первого выражения:

$$\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta;$$ $$\cos(a + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} + \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85};$$

Значение второго выражения:

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta;$$ $$\cos(a — \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} — \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{17} = \frac{60}{85} — \frac{24}{85} = \frac{36}{85};$$

Ответ: $\frac{84}{85}; \frac{36}{85}$.

Дано:

$$\sin a = -\frac{3}{5}, \quad \frac{3\pi}{2} < a < 2\pi;$$ $$\sin \beta = \frac{8}{17}, \quad 0 < \beta < \frac{\pi}{2}.$$

Нужно найти:

$$\cos(a + \beta) \quad \text{и} \quad \cos(a — \beta).$$

Шаг 1: Определение четвертей и знаков

• Угол $a$ находится в интервале $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)$, то есть в IV четверти.

  Во IV четверти:

  $$\sin a < 0, \quad \cos a > 0.$$

• Угол $\beta$ находится в интервале $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, то есть в I четверти.

  В I четверти:

  $$\sin \beta > 0, \quad \cos \beta > 0.$$

Шаг 2: Находим $\cos a$

Из тригонометрического тождества:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Выразим $\cos a$:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a = 1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.$$

Так как $a$ в IV четверти, где $\cos a > 0$, получаем:

$$\cos a = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}.$$

Шаг 3: Находим $\cos \beta$

Аналогично:

$$\cos^2 \beta = 1 — \sin^2 \beta = 1 — \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 — \frac{64}{289} = \frac{225}{289}.$$

Поскольку $\beta$ в I четверти, $\cos \beta > 0$, значит:

$$\cos \beta = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}.$$

Шаг 4: Формулы косинуса суммы и разности

• Косинус суммы:

$$\cos(a + \beta) = \cos a \cdot \cos \beta — \sin a \cdot \sin \beta.$$

• Косинус разности:

$$\cos(a — \beta) = \cos a \cdot \cos \beta + \sin a \cdot \sin \beta.$$

Шаг 5: Вычисление $\cos(a + \beta)$

Подставляем известные значения:

$$\cos(a + \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} — \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}.$$

Шаг 6: Вычисление $\cos(a — \beta)$

Подставляем известные значения:

$$\cos(a — \beta) = \frac{4}{5} \cdot \frac{15}{17} + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{8}{17} = \frac{60}{85} — \frac{24}{85} = \frac{36}{85}.$$

Итог:

$$\boxed{ \cos(a + \beta) = \frac{84}{85}; \quad \cos(a — \beta) = \frac{36}{85}. }$$