ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 592 Алимов — Подробные Ответы

1. sin 4x cos 2x = cos 4x sin 2x;
2. cos 2x sin 3x = sin 2x cos 3x.

1. $\sin 4x \cdot \cos 2x = \cos 4x \cdot \sin 2x$;
   $\sin 4x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \cos 4x = 0$;
   $\sin (4x — 2x) = 0$;
   $\sin 2x = 0$;
   $2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
   $x = \frac{1}{2} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{2}$.
   Ответ: $\frac{\pi n}{2}$.
2. $\cos 2x \cdot \sin 3x = \sin 2x \cdot \cos 3x$;
   $\sin 3x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \cos 3x = 0$;
   $\sin (3x — 2x) = 0$;
   $\sin x = 0$;
   $x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$.
   Ответ: $\pi n$.

Задача 1: $\sin 4x \cdot \cos 2x = \cos 4x \cdot \sin 2x$

Применение формулы синуса суммы углов:

У нас есть выражение:

$$\sin 4x \cdot \cos 2x = \cos 4x \cdot \sin 2x$$

Это выражение можно упростить с помощью формулы синуса разности:

$$\sin A \cdot \cos B — \sin B \cdot \cos A = \sin(A — B)$$

Применим эту формулу:

$$\sin 4x \cdot \cos 2x — \sin 2x \cdot \cos 4x = 0$$

Тогда получаем:

$$\sin(4x — 2x) = 0$$

Упростим:

$$\sin 2x = 0$$

Решение уравнения $\sin 2x = 0$:

Задача сводится к решению тригонометрического уравнения:

$$\sin 2x = 0$$

Это уравнение верно для значений $2x = n\pi$, где $n$ — целое число, так как $\sin \theta = 0$ при $\theta = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решение для $x$:

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{n\pi}{2}$$

Таким образом, все решения уравнения:

$$x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

Задача 2: $\cos 2x \cdot \sin 3x = \sin 2x \cdot \cos 3x$

Применение формулы синуса суммы углов:

Начнем с исходного уравнения:

$$\cos 2x \cdot \sin 3x = \sin 2x \cdot \cos 3x$$

Это выражение также можно упростить с помощью формулы синуса разности:

$$\sin A \cdot \cos B — \sin B \cdot \cos A = \sin(A — B)$$

Применяя эту формулу, получаем:

$$\sin (3x — 2x) = 0$$

Упростим:

$$\sin x = 0$$

Решение уравнения $\sin x = 0$:

Мы знаем, что $\sin \theta = 0$ для $\theta = n\pi$, где $n$ — целое число. Следовательно:

$$x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

Итог:

Первое уравнение:

$$\sin 4x \cdot \cos 2x = \cos 4x \cdot \sin 2x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x \cdot \sin 3x = \sin 2x \cdot \cos 3x \quad \Rightarrow \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$