ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 416 Алимов — Подробные Ответы

Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки (1; 0) на угол:

1. 4пи;
2. -3пи/2;
3. -6,5пи;
4. пи/4;
5. пи/3;
6. -45.

1. $a = 4\pi = 0 + 2\pi \cdot 2$;
   Точка окажется на прежнем месте;
   Ответ: $(1; 0)$.
2. $a = -\frac{3}{2}\pi = \frac{\pi}{2} — 2\pi$;
   Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;
   Ответ: $(0; 1)$.
3. $a = -6,5\pi = -\frac{\pi}{2} — 6\pi$;
   Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ по часовой стрелке;
   Ответ: $(0; -1)$.
4. $a = \frac{\pi}{4} = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \right)^{\circ} = 45^{\circ}$;
   Точка повернется на угол $45^{\circ}$, против часовой стрелки:
   $|x| = |y|$ и $x > 0$, $y > 0$;
   Уравнение окружности:
   $x^2 + y^2 = R^2;$
   $x^2 + x^2 = 1;$
   $2x^2 = 1;$
   $x^2 = \frac{1}{2};$
   $x = y = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2};$
   Ответ: $\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.
5. $a = \frac{\pi}{3} = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} \right)^{\circ} = 60^{\circ}$;
   Точка повернется на угол $60^{\circ}$, против часовой стрелки:
   $x > 0$, $y > 0$;
   Катет, соответствующий абсциссе лежит против угла в $30^{\circ}$:
   $x = \frac{R}{2} = \frac{1}{2};$
   Уравнение окружности:
   $x^2 + y^2 = R^2;$
   $\frac{1}{4} + y^2 = 1;$
   $y^2 = \frac{3}{4}, \text{ отсюда } y = \frac{\sqrt{3}}{2};$
   Ответ: $\left( \frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
6. $a = -45^{\circ}$;
   Точка повернется на угол $45^{\circ}$, по часовой стрелке:
   $|x| = |y|$ и $x > 0$, $y < 0$;
   Уравнение окружности:
   $x^2 + y^2 = R^2;$
   $x^2 + x^2 = 1;$
   $2x^2 = 1;$
   $x^2 = \frac{1}{2}, \text{ отсюда } x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2};$
   $y = -x = -\frac{\sqrt{2}}{2};$
   Ответ: $\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

Условие:
Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $(1; 0)$ на заданный угол $a$.

Теория:

• Единичная окружность — это окружность радиуса $R = 1$, с центром в начале координат.
• Координаты любой точки на единичной окружности, расположенной под углом $a$ (в радианах) от положительного направления оси $x$, задаются формулами:

  $$x = \cos a, \quad y = \sin a$$

• Поворот точки $(1; 0)$ на угол $a$ — это переход из положения на оси $x$ в положение с координатами $(\cos a; \sin a)$.

Решение по пунктам:

1) $a = 4\pi = 0 + 2\pi \cdot 2$

• Угол $4\pi$ равен $0$ плюс целое число оборотов (две полных окружности).
• Поворот на $4\pi$ не изменяет положение точки на единичной окружности (положение после полного круга совпадает с начальным).
• Значит:

  $$x = \cos 4\pi = \cos 0 = 1, \quad y = \sin 4\pi = \sin 0 = 0$$

Ответ: $(1; 0)$.

2) $a = -\frac{3}{2}\pi = \frac{\pi}{2} — 2\pi$

• Поворот на $-\frac{3}{2}\pi$ — это поворот по часовой стрелке на $270^\circ$, что эквивалентно повороту против часовой на $90^\circ$ (так как полный оборот $2\pi$).
• Значит поворачиваем точку $(1; 0)$ на $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки.
• Координаты после поворота:

  $$x = \cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad y = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Ответ: $(0; 1)$.

3) $a = -6,5\pi = -\frac{\pi}{2} — 6\pi$

• Поворот на $-6,5\pi$ — это поворот по часовой на $\frac{\pi}{2}$ (последний неполный оборот) плюс несколько полных оборотов (они не влияют на конечное положение).
• Значит эквивалент поворота на $-\frac{\pi}{2}$.
• Координаты:

  $$x = \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad y = \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

Ответ: $(0; -1)$.

4) $a = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$

• Поворот на $45^\circ$ против часовой стрелки.
• На единичной окружности $R = 1$, уравнение:

  $$x^2 + y^2 = 1$$

• Так как угол $45^\circ$, то

  $$|x| = |y|$$

• Поскольку точка в первом квадранте ($x > 0$, $y > 0$), имеем $x = y$.
• Подставим в уравнение окружности:

  $$x^2 + x^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2}$$

• Значит

  $$x = y = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

5) $a = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

• Поворот на $60^\circ$ против часовой стрелки.
• Точка в первом квадранте: $x > 0$, $y > 0$.
• Абсцисса $x$ — это катет треугольника, лежащий против угла $30^\circ$ (ведь $60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$).
• На единичной окружности:

  $$x = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$

• Найдем $y$ из уравнения окружности:

  $$x^2 + y^2 = 1 \implies \left(\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = 1 \implies \frac{1}{4} + y^2 = 1$$ $$y^2 = 1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \implies y = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: $\left(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

6) $a = -45^\circ$

• Поворот на $45^\circ$ по часовой стрелке.
• Точка находится в четвёртом квадранте, где $x > 0$, $y < 0$.
• По модулю $|x| = |y|$.
• Уравнение окружности:

  $$x^2 + y^2 = 1$$

• Поскольку $y = -x$:

  $$x^2 + (-x)^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2}$$

• Значит

  $$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Итог:

Поворот точки $(1; 0)$ на угол $a$ вокруг начала координат на единичной окружности даёт координаты $(\cos a; \sin a)$. В каждом из рассмотренных случаев мы вычислили эти значения с учётом знаков и квадрантов.