ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 872 Алимов — Подробные Ответы

1. x2 cosx;
2. x3 ln x;
3. 5xex;
4. x sin 2x;
5. e^-x sin x;
6. ex cos x.

1. $f(x) = x^2 \cdot \cos x$;
   $f'(x) = (x^2)’ \cdot \cos x + x^2 \cdot (\cos x)’$;
   $f'(x) = 2x \cdot \cos x + x^2 \cdot (-\sin x)$;
   $f'(x) = x \cdot (2 \cos x — x \cdot \sin x)$;
2. $f(x) = x^3 \cdot \ln x$;
   $f'(x) = (x^3)’ \cdot \ln x + x^3 \cdot (\ln x)’$;
   $f'(x) = 3x^2 \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x}$;
   $f'(x) = x^2 \cdot (3 \ln x + 1)$;
3. $f(x) = 5x \cdot e^x$;
   $f'(x) = (5x)’ \cdot e^x + 5x \cdot (e^x)’$;
   $f»(x) = 5e^x + 5x \cdot e^x$;
   $f'(x) = 5e^x \cdot (1 + x)$;
4. $f(x) = x \cdot \sin 2x$;
   $f'(x) = (x)’ \cdot \sin 2x + x \cdot (\sin 2x)’$;
   $f'(x) = 1 \cdot \sin 2x + x \cdot 2 \cos 2x$;
   $f'(x) = \sin 2x + 2x \cdot \cos 2x$;
5. $f(x) = e^{-x} \cdot \sin x$;
   $f'(x) = (e^{-x})’ \cdot \sin x + e^{-x} \cdot (\sin x)’$;
   $f'(x) = -e^{-x} \cdot \sin x + e^{-x} \cdot \cos x$;
   $f'(x) = e^{-x} \cdot (\cos x — \sin x)$;
6. $f(x) = e^x \cdot \cos x$;
   $f'(x) = (e^x)’ \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)’$;
   $f'(x) = e^x \cdot \cos x + e^x \cdot (-\sin x)$;
   $f'(x) = e^x \cdot (\cos x — \sin x)$

Задача 1

Дано:

$f(x) = x^2 \cdot \cos x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Задача требует использования формулы произведения для дифференцирования двух функций:

$$\frac{d}{dx}(u(x) \cdot v(x)) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Здесь $u(x) = x^2$, а $v(x) = \cos x$.

1. Дифференцируем $u(x) = x^2$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x.$$

2. Дифференцируем $v(x) = \cos x$:

   $$v'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.$$

Теперь применяем формулу произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Подставляем найденные производные:

$$f'(x) = 2x \cdot \cos x + x^2 \cdot (-\sin x).$$

Упрощаем:

$$f'(x) = 2x \cdot \cos x — x^2 \cdot \sin x.$$

Ответ:

$$f'(x) = x \cdot (2 \cos x — x \cdot \sin x).$$

Задача 2

Дано:

$f(x) = x^3 \cdot \ln x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Опять используем формулу произведения:

$$\frac{d}{dx}(u(x) \cdot v(x)) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Здесь $u(x) = x^3$, а $v(x) = \ln x$.

1. Дифференцируем $u(x) = x^3$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2.$$

2. Дифференцируем $v(x) = \ln x$:

   $$v'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}.$$

Теперь применяем формулу произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Подставляем найденные производные:

$$f'(x) = 3x^2 \cdot \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x}.$$

Упрощаем:

$$f'(x) = 3x^2 \cdot \ln x + x^2.$$

Или:

$$f'(x) = x^2 \cdot (3 \ln x + 1).$$

Ответ:

$$f'(x) = x^2 \cdot (3 \ln x + 1).$$

Задача 3

Дано:

$f(x) = 5x \cdot e^x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Используем формулу произведения для дифференцирования:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Здесь $u(x) = 5x$, а $v(x) = e^x$.

1. Дифференцируем $u(x) = 5x$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(5x) = 5.$$

2. Дифференцируем $v(x) = e^x$:

   $$v'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x.$$

Теперь применяем формулу произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Подставляем найденные производные:

$$f'(x) = 5 \cdot e^x + 5x \cdot e^x.$$

Общий множитель $e^x$ можно вынести:

$$f'(x) = e^x \cdot (5 + 5x).$$

Ответ:

$$f'(x) = 5e^x \cdot (1 + x).$$

Задача 4

Дано:

$f(x) = x \cdot \sin 2x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Используем формулу произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Здесь $u(x) = x$, а $v(x) = \sin 2x$.

1. Дифференцируем $u(x) = x$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1.$$

2. Дифференцируем $v(x) = \sin 2x$ по цепному правилу:

   $$v'(x) = \cos 2x \cdot 2 = 2 \cos 2x.$$

Теперь применяем формулу произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Подставляем найденные производные:

$$f'(x) = 1 \cdot \sin 2x + x \cdot 2 \cos 2x.$$

Упрощаем:

$$f'(x) = \sin 2x + 2x \cdot \cos 2x.$$

Ответ:

$$f'(x) = \sin 2x + 2x \cdot \cos 2x.$$

Задача 5

Дано:

$f(x) = e^{-x} \cdot \sin x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Используем формулу произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Здесь $u(x) = e^{-x}$, а $v(x) = \sin x$.

1. Дифференцируем $u(x) = e^{-x}$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-x}) = -e^{-x}.$$

2. Дифференцируем $v(x) = \sin x$:

   $$v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x.$$

Теперь применяем формулу произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Подставляем найденные производные:

$$f'(x) = -e^{-x} \cdot \sin x + e^{-x} \cdot \cos x.$$

Упрощаем:

$$f'(x) = e^{-x} \cdot (\cos x — \sin x).$$

Ответ:

$$f'(x) = e^{-x} \cdot (\cos x — \sin x).$$

Задача 6

Дано:

$f(x) = e^x \cdot \cos x$

Нужно найти производную $f'(x)$.

Решение:

Используем формулу произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Здесь $u(x) = e^x$, а $v(x) = \cos x$.

1. Дифференцируем $u(x) = e^x$:

   $$u'(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x.$$

2. Дифференцируем $v(x) = \cos x$:

   $$v'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x.$$

Теперь применяем формулу произведения:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Подставляем найденные производные:

$$f'(x) = e^x \cdot \cos x + e^x \cdot (-\sin x).$$

Упрощаем:

$$f'(x) = e^x \cdot (\cos x — \sin x).$$

Ответ:

$$f'(x) = e^x \cdot (\cos x — \sin x).$$