ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1489 Алимов — Подробные Ответы

1. у = 0,5+ sin(x-пи/4);
2. y=0,5cos+sinx.

$y = 0,5 + \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$;

$$-1 \leq \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \leq 1;$$ $$-0,5 \leq 0,5 + \sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) \leq 1,5;$$

Ответ: $-0,5 \leq y \leq 1,5$.

$y = 0,5 \cos x + \sin x$;

Значение синуса:

$$\sin \left( \arccos \frac{0,5}{\sqrt{1,25}} \right) = \sqrt{1 — \cos^2 \left( \arccos \frac{0,5}{\sqrt{1,25}} \right)} = \sqrt{1 — \left( \frac{0,5}{\sqrt{1,25}} \right)^2} =$$ $$= \sqrt{\frac{1,25 — 0,25}{1,25}} = \sqrt{\frac{1}{1,25}} = \frac{1}{\sqrt{1,25}};$$

Преобразуем выражение:

$$y = 0,5 \cos x + \sin x = \sqrt{1,25} \cdot \left( \frac{0,5}{\sqrt{1,25}} \cdot \cos x + \frac{1}{\sqrt{1,25}} \cdot \sin x \right) =$$ $$= \sqrt{1,25} \cdot \left( \cos \left( \arccos \frac{0,5}{\sqrt{1,25}} \right) \cdot \cos x + \sin \left( \arccos \frac{0,5}{\sqrt{1,25}} \right) \cdot \sin x \right) =$$ $$= \sqrt{1,25} \cdot \cos \left( \arccos \frac{0,5}{\sqrt{1,25}} — x \right);$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \cos a \leq 1;$$ $$-\sqrt{1,25} \leq \sqrt{1,25} \cdot \cos a \leq \sqrt{1,25};$$

Ответ: $-\sqrt{1,25} \leq y \leq \sqrt{1,25}$.

1) $\displaystyle y = 0{,}5 + \sin\!\left(x — \dfrac{\pi}{4}\right)$

Шаг 1. Исходное неравенство для синуса

Для любой вещественной переменной угол $t$ выполняется базовое свойство

$$-1 \le \sin t \le 1 .$$

Здесь «угол» $t$ играет роль выражения $x-\tfrac{\pi}{4}$. Следовательно

$$-1\; \le\; \sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\; \le\; 1 .$$

Шаг 2. Сдвиг графика на 0,5 единицы вверх

К функции добавлена постоянная $+0,5$. Складывая изолированно со всеми тремя членами двойного неравенства, получаем

$$-1 + 0,5 \;\le\; 0,5 + \sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \;\le\; 1 + 0,5 .$$

Шаг 3. Приведение к финальному виду

Проводим арифметику:

$$-1 + 0,5 = -0,5, \qquad 1 + 0,5 = 1,5 .$$

Отсюда

$$-0,5 \;\le\; y \;\le\; 1,5 .$$

Вывод

Множество значений (область значений) функции — закрытый отрезок

$$\boxed{-0,5 \;\le\; y \;\le\; 1,5 }.$$

Геометрический смысл
График $y=\sin\bigl(x-\tfrac{\pi}{4}\bigr)$ — обычная синусоида, сдвинутая вправо на $\tfrac{\pi}{4}$. При добавлении $+0,5$ она вся поднимается на 0,5 единицы: минимум $-1$ становится $-0,5$, максимум $1$ становится $1,5$.

2) $\displaystyle y = 0{,}5\,\cos x + \sin x$

Нужно найти наименьшее и наибольшее значения линейной комбинации $\sin x$ и $\cos x$.

Шаг 1. Обозначим коэффициенты

$$A = 0,5, \quad B = 1.$$

Запишем функцию в виде $y = A\cos x + B\sin x$.

Шаг 2. Найдём амплитуду $R$ (длина вектора $(A, B)$)

$$R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(0,5)^2 + 1^2} = \sqrt{0,25 + 1} = \sqrt{1,25}.$$

Шаг 3. Переход к «амплитудно–фазовой» форме

Идея: любую линейную комбинацию $A\cos x + B\sin x$ можно переписать в виде

$$R\cos(x — \varphi) \quad\text{или}\quad R\sin(x + \alpha),$$

где угол $\varphi$ выбираем так, чтобы соблюдались коэффициенты. Выберем форму с косинусом.

3.1. Найдём $\varphi$ из системы

$$\begin{cases} A = R\cos\varphi,\\[4pt] B = R\sin\varphi. \end{cases}$$

Подставляем $A=0,5$, $B=1$, $R=\sqrt{1,25}$:

$$\cos\varphi = \dfrac{0,5}{\sqrt{1,25}}, \qquad \sin\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{1,25}}.$$

Проверка единичного радиуса
$\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = \dfrac{0,25}{1,25} + \dfrac{1}{1,25} = \dfrac{1,25}{1,25} = 1$ — условие единичности выполнено, значит угол $\varphi$ существует.

3.2. Записываем преобразование

$$y = A\cos x + B\sin x = R\!\Bigl(\cos\varphi\cos x + \sin\varphi\sin x\Bigr) = R\cos(x — \varphi).$$

Тем самым

$$y = \sqrt{1,25}\,\cos(x — \varphi).$$

Где $\varphi = \arccos\!\dfrac{0,5}{\sqrt{1,25}}$ (или $\varphi = \arcsin\!\dfrac{1}{\sqrt{1,25}}$ — одно и то же).

Шаг 4. Диапазон значения косинуса

Для произвольного аргумента $u$ справедливо

$$-1 \le \cos u \le 1 .$$

Шаг 5. Масштабирование на $R=\sqrt{1,25}$

Умножая все части неравенства из Шага 4 на $R>0$:

$$-\sqrt{1,25} \;\le\; \sqrt{1,25}\,\cos u \;\le\; \sqrt{1,25}.$$

Но выражение $\sqrt{1,25}\cos u$ и есть наше $y$. Следовательно

$$-\sqrt{1,25} \;\le\; y \;\le\; \sqrt{1,25}.$$

Итог

Множество значений функции — закрытый отрезок

$$\boxed{-\sqrt{1,25}\; \le\; y\; \le\; \sqrt{1,25}}.$$

Числовая оценка (при необходимости):
$\sqrt{1,25} \;=\; \sqrt{\tfrac54}\;=\;\tfrac{\sqrt5}{2}\approx 1{,}118\,$.

Геометрический комментарий

Вектор $(0,5,\,1)$ в плоскости $(\cos x,\;\sin x)$ имеет длину $R=\sqrt{1,25}$.
Функция $y(x)$ — это проекция единичного вектора $(\cos x,\sin x)$ на этот фиксированный вектор, умноженная на $R$. Амплитуда проекции равна длине вектора, поэтому максимум $=\!R$, минимум $=-R$.

Финальные ответы:

1. $y\in\bigl[-0,5;\;1,5\bigr]$
2. $y\in\bigl[-\sqrt{1,25};\;\sqrt{1,25}\bigr]$