ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 18 Алимов — Подробные Ответы

1. q= -1/2, b1 = 1/8;
2. q= 1/3, b5 = 1/81;
3. q= -1/3, b1 = 9;
4. q= -1/2, b4 = 1/8.

$\mathrm{1.\; q}=-\frac{1}{2}$ и $b_1=\frac{1}{8}$;

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{8}}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{\frac{1}{8}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{4\cdot 3}=\frac{1}{12};$$

Ответ: $\frac{1}{12}$.

$\mathrm{2.\; q}=\frac{1}{3}$ и $b_5=\frac{1}{81}$;

$$b_5=b_1\cdot q^4,\text{ отсюда }{b}_1=\frac{b_5}{q^4}=\frac{\frac{1}{81}}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^4}=\frac{\frac{1}{81}}{\frac{1}{81}}=1;$$$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=1:\frac{2}{3}=1\cdot \frac{3}{2}=1.5;$$

Ответ: $1.5$.

$\mathrm{3.\; q}=-\frac{1}{3}$ и $b_1=9$;

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{9}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{4}{3}}=9\cdot \frac{3}{4}=\frac{27}{4}=6.75;$$

Ответ: $6.75$.

$\mathrm{4.\; q}=-\frac{1}{2}$ и $b_4=\frac{1}{8}$;

$$b_4=b_1\cdot q^3,\text{ отсюда }{b}_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{\frac{1}{8}}{{(-\frac{1}{2})}^3}=\frac{\frac{1}{8}}{-\frac{1}{8}}=-1;$$$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{-1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{-1}{\frac{3}{2}}=-1\cdot \frac{2}{3}=-\frac{2}{3};$$

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

Общая формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Если геометрическая прогрессия бесконечна и убывает, то сумма всех её членов выражается формулой:

$$S=\frac{b_1}{1-q},\text{если }\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$$

где:

• $b_1$ — первый член прогрессии
• $q$ — знаменатель прогрессии (отношение между соседними членами)
• $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$ — условие убывания и сходимости суммы

1) $q=-\frac{1}{2}$, $b_1=\frac{1}{8}$

Используем формулу:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac{1}{8}}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{\frac{1}{8}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}$$

Деление дробей:

$$\frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{12}}}$

2) $q=\frac{1}{3}$, $b_5=\frac{1}{81}$

Сначала найдём первый член прогрессии $b_1$.
Формула общего члена геометрической прогрессии:

$$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$$

Значит, для $n=5$:

$$b_5=b_1\cdot q^4\Rightarrow b_1=\frac{b_5}{q^4}$$

Подставляем:

$$b_1=\frac{\frac{1}{81}}{{\left(\frac{1}{3}\right)}^4}=\frac{\frac{1}{81}}{\frac{1}{81}}=1$$

Теперь считаем сумму:

$$S=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=1\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}=1.5$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 1.5}}$

3) $q=-\frac{1}{3}$, $b_1=9$

Используем формулу суммы:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{9}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{4}{3}}$$

Делим:

$$\frac{9}{\frac{4}{3}}=9\cdot \frac{3}{4}=\frac{27}{4}=6.75$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 6.75}}$

4) $q=-\frac{1}{2}$, $b_4=\frac{1}{8}$

Найдем $b_1$, используя формулу общего члена:

$$b_4=b_1\cdot q^3\Rightarrow b_1=\frac{b_4}{q^3}$$

Посчитаем $q^3$:

$${(-\frac{1}{2})}^3=-\frac{1}{8}$$

Тогда:

$$b_1=\frac{\frac{1}{8}}{-\frac{1}{8}}=-1$$

Теперь считаем сумму:

$$S=\frac{-1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{-1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{-1}{\frac{3}{2}}=-1\cdot \frac{2}{3}=-\frac{2}{3}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\frac{2}{3}}}$