ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1004 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить интеграл (1004-1011)

1. интеграл (0;1) xdx;
2. интеграл (0;3) x2dx;
3. интеграл (-1;2) 3x2dx;
4. интеграл (-2;3) 2xdx;
5. интеграл (2;3) 1dx/x2;
6. интеграл (1;2) 1dx/x3;
7. интеграл (1;4) корень xdx;
8. интеграл (4;9) 1dx/корень x.

1. $\int_{0}^{1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} — \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$;
2. $\int_{0}^{3} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} — \frac{0^3}{3} = 3^2 = 9$;
3. $\int_{-1}^{2} 3x^2 \, dx = \frac{3x^3}{3} \bigg|_{-1}^{2} = x^3 \bigg|_{-1}^{2} = 2^3 — (-1)^3 = 8 + 1 = 9$;
4. $\int_{-2}^{3} 2x \, dx = \frac{2x^2}{2} \bigg|_{-2}^{3} = x^2 \bigg|_{-2}^{3} = 3^2 — (-2)^2 = 9 — 4 = 5$;
5. $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2} \, dx = \int_{2}^{3} x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} \bigg|_{2}^{3} = -\frac{1}{x} \bigg|_{2}^{3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$;
6. $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx = \int_{1}^{2} x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} \bigg|_{1}^{2} = -\frac{1}{2x^2} \bigg|_{1}^{2} = -\frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{2 \cdot 1^2} = \frac{1}{2} — \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$;
7. $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left( \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) \bigg|_{1}^{4} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \bigg|_{1}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 4 \sqrt{4} — \frac{2}{3} \cdot 1 \sqrt{1} = \frac{8}{3} — \frac{2}{3} = \frac{14}{3} = \frac{4}{3}$;
8. $\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{4}^{9} x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \left( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right) \bigg|_{4}^{9} = 2 \sqrt{x} \bigg|_{4}^{9} = 2 \sqrt{9} — 2 \sqrt{4} = 6 — 4 = 2$

1) $\int_{0}^{1} x \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = x$ на интервале от $0$ до $1$. Для этого применяем стандартную формулу для интегрирования степенных функций.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразная функции $f(x) = x$ будет:

$$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь, используя теорему о вычислении определённых интегралов, подставляем пределы интегрирования в полученную первообразную:

$$\int_{0}^{1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_0^1 = \frac{1^2}{2} — \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}.$$

Ответ:

$$\frac{1}{2}.$$

2) $\int_{0}^{3} x^2 \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = x^2$ на интервале от $0$ до $3$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразная функции $f(x) = x^2$ будет:

$$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь, подставим пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{0}^{3} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_0^3 = \frac{3^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} — 0 = 9.$$

Ответ:

$$9.$$

3) $\int_{-1}^{2} 3x^2 \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = 3x^2$ на интервале от $-1$ до $2$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразная функции $f(x) = 3x^2$ будет:

$$\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь, подставим пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{-1}^{2} 3x^2 \, dx = x^3 \bigg|_{-1}^{2} = 2^3 — (-1)^3 = 8 — (-1) = 8 + 1 = 9.$$

Ответ:

$$9.$$

4) $\int_{-2}^{3} 2x \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = 2x$ на интервале от $-2$ до $3$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразная функции $f(x) = 2x$ будет:

$$\int 2x \, dx = x^2.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь, подставим пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{-2}^{3} 2x \, dx = x^2 \bigg|_{-2}^{3} = 3^2 — (-2)^2 = 9 — 4 = 5.$$

Ответ:

$$5.$$

5) $\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \frac{1}{x^2}$ на интервале от $2$ до $3$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразная функции $f(x) = x^{-2}$ будет:

$$\int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь, подставим пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{2}^{3} \frac{1}{x^2} \, dx = -\frac{1}{x} \bigg|_2^3 = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}.$$

Ответ:

$$\frac{1}{6}.$$

6) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \frac{1}{x^3}$ на интервале от $1$ до $2$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразная функции $f(x) = x^{-3}$ будет:

$$\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь, подставим пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx = -\frac{1}{2x^2} \bigg|_1^2 = -\frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{2 \cdot 1^2} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$-\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8}.$$

Ответ:

$$\frac{3}{8}.$$

7) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ на интервале от $1$ до $4$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразная функции $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ будет:

$$\int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь, подставим пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \bigg|_1^4 = \frac{2}{3} \cdot 4 \sqrt{4} — \frac{2}{3} \cdot 1 \sqrt{1} = \frac{8}{3} — \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2.$$

Ответ:

$$2.$$

8) $\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ на интервале от $4$ до $9$.

Шаг 1: Находим первообразную функции.

Первообразная функции $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$ будет:

$$\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}.$$

Шаг 2: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь, подставим пределы интегрирования в первообразную:

$$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \sqrt{x} \bigg|_4^9 = 2 \sqrt{9} — 2 \sqrt{4} = 6 — 4 = 2.$$

Ответ:

$$2.$$

Итоговые ответы:

1. $\frac{1}{2}$
2. $9$
3. $9$
4. $5$
5. $\frac{1}{6}$
6. $\frac{3}{8}$
7. $2$
8. $2$