ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1469 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, пересекаются ли графики функций:

1. у = х2 и у = х + 6;
2. у = 3/x и у = 4 (х + 1);
3. у =1х2/8 и у = 1/x;
4. у = 2х — 1 и у = 1/x.

1) $y = x^2$ и $y = x + 6$:

$$x^2 = x + 6;$$ $$x^2 — x — 6 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$$

Ответ: пересекаются.

$y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x + 1)$:

$$\frac{3}{x} = 4(x + 1) \quad | \cdot x;$$ $$3 = 4x(x + 1);$$ $$4x^2 + 4x — 3 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 + 48 = 64, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -1,5;$$ $$x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2};$$

Ответ: пересекаются.

$y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \frac{1}{x}$:

$$\frac{1}{8}x^2 = \frac{1}{x} \quad | \cdot 8x;$$ $$x^3 = 8, \text{ отсюда } x = \sqrt[3]{8} = 2;$$

Ответ: пересекаются.

$y = 2x — 1$ и $y = \frac{1}{x}$:

$$2x — 1 = \frac{1}{x} \quad | \cdot x;$$ $$2x^2 — x — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Ответ: пересекаются.

1) Пересечение графиков функций $y = x^2$ и $y = x + 6$:

Для нахождения точек пересечения этих графиков, приравняем функции друг к другу:

$$x^2 = x + 6$$

Переносим все элементы на одну сторону уравнения:

$$x^2 — x — 6 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -1$, $c = -6$.

Дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставим значения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$$

Таким образом, графики функций пересекаются в точках $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Ответ: графики пересекаются в точках $x = -2$ и $x = 3$.

2) Пересечение графиков функций $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x + 1)$:

Для нахождения точек пересечения приравняем функции:

$$\frac{3}{x} = 4(x + 1)$$

Теперь умножим обе части на $x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$$3 = 4x(x + 1)$$

Раскрываем скобки:

$$3 = 4x^2 + 4x$$

Переносим все элементы на одну сторону:

$$4x^2 + 4x — 3 = 0$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 4$, $b = 4$, $c = -3$.

Дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 — \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 — 8}{8} = \frac{-12}{8} = -1.5$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$$

Таким образом, графики пересекаются в точках $x_1 = -1.5$ и $x_2 = 0.5$.

Ответ: графики пересекаются в точках $x = -1.5$ и $x = 0.5$.

3) Пересечение графиков функций $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \frac{1}{x}$:

Приравниваем функции:

$$\frac{1}{8}x^2 = \frac{1}{x}$$

Умножим обе части на $8x$ (учитывая, что $x \neq 0$):

$$x^3 = 8$$

Решаем это уравнение:

$$x = \sqrt[3]{8} = 2$$

Таким образом, графики пересекаются в точке $x = 2$.

Ответ: графики пересекаются в точке $x = 2$.

4) Пересечение графиков функций $y = 2x — 1$ и $y = \frac{1}{x}$:

Приравниваем функции:

$$2x — 1 = \frac{1}{x}$$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):

$$2x^2 — x — 1 = 0$$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a = 2$, $b = -1$, $c = -1$.

Дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим корни:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$$ $$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Таким образом, графики пересекаются в точках $x_1 = -0.5$ и $x_2 = 1$.

Ответ: графики пересекаются в точках $x = -0.5$ и $x = 1$.

Итоги:

1. Пересечение графиков $y = x^2$ и $y = x + 6$ в точках $x = -2$ и $x = 3$.
2. Пересечение графиков $y = \frac{3}{x}$ и $y = 4(x + 1)$ в точках $x = -1.5$ и $x = 0.5$.
3. Пересечение графиков $y = \frac{1}{8}x^2$ и $y = \frac{1}{x}$ в точке $x = 2$.
4. Пересечение графиков $y = 2x — 1$ и $y = \frac{1}{x}$ в точках $x = -0.5$ и $x = 1$.