ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 305 Алимов — Подробные Ответы

Выразить данный логарифм через лагорифм с основанием 7:

1. log5(3);
2. lg6;
3. log2(7);
4. log5(1/3);
5. lg7;
6. log3(7).

Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7:

1. $\log_{5} 3 = \frac{\log_{7} 3}{\log_{7} 5}$;
2. $\lg 6 = \log_{10} 6 = \frac{\log_{7} 6}{\log_{7} 10}$;
3. $\log_{2} 7 = \frac{\log_{7} 7}{\log_{7} 2} = \frac{1}{\log_{7} 2}$;
4. $\log_{5} \frac{1}{3} = \frac{\log_{7} \frac{1}{3}}{\log_{7} 5}$;
5. $\lg \sqrt{7} = \log_{10} \sqrt{7} = \frac{\log_{7} \sqrt{7}}{\log_{7} 10} = \frac{1}{2 \log_{7} 10}$;
6. $\log_{3} 7 = \frac{\log_{7} 7}{\log_{7} 3} = \frac{1}{\log_{7} 3}$

Выразить данный логарифм через логарифм с основанием 7:

Обозначения:
$\log_a b$ — логарифм числа $b$ по основанию $a$,
$\lg x = \log_{10} x$ — десятичный логарифм.

Основная формула перехода между основаниями логарифмов

Для любых $a, b, c > 0$, $a \neq 1$, $b \neq 1$, справедливо:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.$$

Здесь мы выбираем $c = 7$, то есть выражаем все логарифмы через логарифм по основанию 7.

1) Выразить $\log_5 3$

Шаг 1. Записываем по формуле перехода:

$$\log_5 3 = \frac{\log_7 3}{\log_7 5}.$$

Объяснение: Логарифм по основанию 5 числа 3 равен отношению логарифма 3 по основанию 7 к логарифму 5 по основанию 7.

2) Выразить $\lg 6 = \log_{10} 6$

Шаг 1. Записываем по формуле:

$$\log_{10} 6 = \frac{\log_7 6}{\log_7 10}.$$

Объяснение: Логарифм по основанию 10 числа 6 выражается через логарифмы по основанию 7 аналогично.

3) Выразить $\log_2 7$

Шаг 1. По формуле:

$$\log_2 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 2}.$$

Шаг 2. Поскольку $\log_7 7 = 1$, то:

$$\log_2 7 = \frac{1}{\log_7 2}.$$

Объяснение: Логарифм числа основания равен 1, поэтому деление сводится к обратному значению логарифма по основанию 7.

4) Выразить $\log_5 \frac{1}{3}$

Шаг 1. По формуле:

$$\log_5 \frac{1}{3} = \frac{\log_7 \frac{1}{3}}{\log_7 5}.$$

Объяснение: Логарифм дроби по основанию 5 — отношение логарифма дроби по основанию 7 к логарифму 5 по основанию 7.

5) Выразить $\lg \sqrt{7} = \log_{10} \sqrt{7}$

Шаг 1. По формуле перехода:

$$\log_{10} \sqrt{7} = \frac{\log_7 \sqrt{7}}{\log_7 10}.$$

Шаг 2. Поскольку $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$, то:

$$\log_7 \sqrt{7} = \log_7 7^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_7 7 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.$$

Шаг 3. Следовательно:

$$\log_{10} \sqrt{7} = \frac{\frac{1}{2}}{\log_7 10} = \frac{1}{2 \log_7 10}.$$

Объяснение: Логарифм корня из числа равен половине логарифма этого числа.

6) Выразить $\log_3 7$

Шаг 1. По формуле:

$$\log_3 7 = \frac{\log_7 7}{\log_7 3}.$$

Шаг 2. Поскольку $\log_7 7 = 1$, то:

$$\log_3 7 = \frac{1}{\log_7 3}.$$

Объяснение: Аналогично пункту 3, логарифм основания равен 1, поэтому результат — обратное значение соответствующего логарифма.