ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 989 Алимов — Подробные Ответы

1. 3 cos x — 4 sin x;
2. 5 sin x + 2 cos x;
3. ex — 2 cos x;
4. 3ex — sin x;
5. 5-e^-x + 3 cos x;
6. 1 + 3ex-4cos x;
7. 6 корень 3 степени x- 2/x + 3ex;
8. 4/ корень x + 3/x — 2e^-x.

1. $f(x) = 3 \cos x — 4 \sin x$;
   $F(x) = 3 \cdot \sin x — 4 \cdot (-\cos x) = 3 \sin x + 4 \cos x + C$;
2. $f(x) = 5 \sin x + 2 \cos x$;
   $F(x) = 5 \cdot (-\cos x) + 2 \cdot \sin x = 2 \sin x — 5 \cos x + C$;
3. $f(x) = e^x — 2 \cos x$;
   $F(x) = e^x — 2 \sin x + C$;
4. $f(x) = 3e^x — \sin x$;
   $F(x) = 3 \cdot e^x — (-\cos x) = 3e^x + \cos x + C$;
5. $f(x) = 5 — e^{-x} + 3 \cos x$;
   $F(x) = 5 \cdot \frac{x^1}{1} — (-e^{-x}) + 3 \cdot \sin x = 5x + e^{-x} + 3 \sin x + C$;
6. $f(x) = 1 + 3e^x — 4 \cos x$;
   $F(x) = 1 \cdot \frac{x^1}{1} + 3 \cdot e^x — 4 \cdot \sin x = x + 3e^x — 4 \sin x + C$;
7. $f(x) = 6 \sqrt[3]{x} — \frac{2}{x} + 3e^x = 6 \cdot x^{\frac{1}{3}} — \frac{2}{x} + 3e^x$;
   $F(x) = 6 \cdot x^{\frac{4}{3}} : \frac{4}{3} — 2 \cdot \ln x + 3 \cdot e^x = \frac{9}{2} x^{\sqrt[3]{x}} — 2 \ln x + 3e^x + C$;
8. $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} — 2e^{-x} = 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} + \frac{3}{x} — 2e^{-x}$;
   $F(x) = 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} + 3 \cdot \ln x — 2 \cdot (-e^{-x}) = 8 \sqrt{x} + 3 \ln x + 2e^{-x} + C$;

Задача 1:

Дано:
$f(x) = 3 \cos x — 4 \sin x.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Для нахождения первообразной функции $f(x)$, применим стандартные правила интегрирования для тригонометрических функций:

Интеграл от $\cos x$ равен $\sin x$.

Интеграл от $\sin x$ равен $-\cos x$.

Таким образом, для функции $f(x) = 3 \cos x — 4 \sin x$ мы интегрируем по частям:

Интегрируем $3 \cos x$:

$$\int 3 \cos x \, dx = 3 \sin x.$$

Интегрируем $-4 \sin x$:

$$\int -4 \sin x \, dx = -4 (-\cos x) = 4 \cos x.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = 3 \sin x + 4 \cos x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 3 \sin x + 4 \cos x + C$.

Задача 2:

Дано:
$f(x) = 5 \sin x + 2 \cos x.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем те же правила интегрирования для тригонометрических функций:

Интегрируем $5 \sin x$:

$$\int 5 \sin x \, dx = -5 \cos x.$$

Интегрируем $2 \cos x$:

$$\int 2 \cos x \, dx = 2 \sin x.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = 2 \sin x — 5 \cos x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 2 \sin x — 5 \cos x + C$.

Задача 3:

Дано:
$f(x) = e^x — 2 \cos x.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем следующие стандартные правила интегрирования:

Интеграл от $e^x$ равен $e^x$.

Интеграл от $\cos x$ равен $\sin x$.

Интегрируем $e^x$:

$$\int e^x \, dx = e^x.$$

Интегрируем $-2 \cos x$:

$$\int -2 \cos x \, dx = -2 \sin x.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = e^x — 2 \sin x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = e^x — 2 \sin x + C$.

Задача 4:

Дано:
$f(x) = 3e^x — \sin x.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем стандартные правила интегрирования:

Интегрируем $3e^x$:

$$\int 3e^x \, dx = 3e^x.$$

Интегрируем $-\sin x$:

$$\int -\sin x \, dx = \cos x.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x) = 3e^x + \cos x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 3e^x + \cos x + C$.

Задача 5:

Дано:
$f(x) = 5 — e^{-x} + 3 \cos x.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Для нахождения первообразной для данной функции:

Интегрируем $5$:

$$\int 5 \, dx = 5x.$$

Интегрируем $-e^{-x}$:

$$\int -e^{-x} \, dx = e^{-x}.$$

Интегрируем $3 \cos x$:

$$\int 3 \cos x \, dx = 3 \sin x.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = 5x + e^{-x} + 3 \sin x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 5x + e^{-x} + 3 \sin x + C$.

Задача 6:

Дано:
$f(x) = 1 + 3e^x — 4 \cos x.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем стандартные правила интегрирования:

Интегрируем $1$:

$$\int 1 \, dx = x.$$

Интегрируем $3e^x$:

$$\int 3e^x \, dx = 3e^x.$$

Интегрируем $-4 \cos x$:

$$\int -4 \cos x \, dx = -4 \sin x.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = x + 3e^x — 4 \sin x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = x + 3e^x — 4 \sin x + C$.

Задача 7:

Дано:
$f(x) = 6 \sqrt[3]{x} — \frac{2}{x} + 3e^x = 6 \cdot x^{\frac{1}{3}} — \frac{2}{x} + 3e^x.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем правила интегрирования для степенных функций и экспоненциальных функций:

Интегрируем $6x^{\frac{1}{3}}$:

$$\int 6x^{\frac{1}{3}} \, dx = 6 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}}.$$

Интегрируем $-\frac{2}{x} = -2x^{-1}$:

$$\int -2x^{-1} \, dx = -2 \ln |x|.$$

Интегрируем $3e^x$:

$$\int 3e^x \, dx = 3e^x.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = \frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} — 2 \ln |x| + 3e^x + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = \frac{9}{2} x^{\frac{4}{3}} — 2 \ln |x| + 3e^x + C$.

Задача 8:

Дано:
$f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} — 2e^{-x} = 4 \cdot x^{-\frac{1}{2}} + \frac{3}{x} — 2e^{-x}.$
Нужно найти первообразную $F(x)$.

Решение:

Используем правила интегрирования для степенных функций и экспоненциальных функций:

Интегрируем $4x^{-\frac{1}{2}}$:

$$\int 4x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 8 \sqrt{x}.$$

Интегрируем $\frac{3}{x} = 3x^{-1}$:

$$\int 3x^{-1} \, dx = 3 \ln |x|.$$

Интегрируем $-2e^{-x}$:

$$\int -2e^{-x} \, dx = 2e^{-x}.$$

Итак, первообразная будет:

$$F(x) = 8 \sqrt{x} + 3 \ln |x| + 2e^{-x} + C,$$

где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Ответ: $F(x) = 8 \sqrt{x} + 3 \ln |x| + 2e^{-x} + C$.