ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1394 Алимов — Подробные Ответы

1) $\frac{3x-15}{x^2+5x-14}\ge 0$;

Разложим знаменатель дроби на множители:

$x^2+5x-14=0;$

$D=5^2+4\cdot 14=25+56=81,\text{ тогда: }$

$x_1=\frac{-5-9}{2}=-7\text{и}{x}_2=\frac{-5+9}{2}=2;$

$(x+7)(x-2)=0;$

Получим неравенство:

$\frac{3(x-5)}{(x+7)(x-2)}\ge 0;$

$(x+7)(x-2)(x-5)\ge 0;$

$-7<x<2\text{и}x\ge 5;$

Ответ: $x\in (-7;2)\cup [5;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

2) $\frac{x-1}{x^2+4x+2}<0$;

Разложим знаменатель дроби на множители:

$x^2+4x+2=0;$

$D=4^2-4\cdot 2=16-8=8=4\cdot 2,\text{ тогда: }$

$x=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2}=-2\pm \sqrt{2};$

$(x-(-2-\sqrt{2}))(x-(-2+\sqrt{2}))=0;$

Получим неравенство:

$\frac{x-1}{(x-(-2-\sqrt{2}))(x-(-2+\sqrt{2}))}<0;$

$(x-(-2-\sqrt{2}))(x-(-2+\sqrt{2}))(x-1)<0;$

$x<-2-\sqrt{2}\text{и}-2+\sqrt{2}<x<1;$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-2-\sqrt{2})\cup (-2+\sqrt{2};1)\mathrm{.}$

3) $\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x-3}>0$;

Разложим числитель дроби на множители:

$x^2+2x-8=0;$

$D=2^2+4\cdot 8=4+32=36,\text{ тогда: }$

$x_1=\frac{-2-6}{2}=-4\text{и}{x}_2=\frac{-2+6}{2}=2;$

$(x+4)(x-2)=0;$

Разложим знаменатель дроби на множители:

$x^2-2x-3=0;$

$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{ тогда: }$

$x_1=\frac{2-4}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{2+4}{2}=3;$

$(x+1)(x-3)=0;$

Получим неравенство:

$\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1)(x-3)}>0;$

$(x+4)(x+1)(x-2)(x-3)>0;$

$x<-4\text{и}-1<x<2\text{и}x>3;$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-4)\cup (-1;2)\cup (3;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$

1) $\frac{3x-15}{x^2+5x-14}\ge 0$

Шаг 1: Разложение знаменателя на множители

Нам нужно решить неравенство с дробью. Начнем с разложения знаменателя $x^2+5x-14$ на множители.

Для этого решим квадратное уравнение:

$$x^2+5x-14=0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot (-14)=25+56=81.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$x_1=\frac{-5-\sqrt{81}}{2}=\frac{-5-9}{2}=-7,x_2=\frac{-5+\sqrt{81}}{2}=\frac{-5+9}{2}=2.$$

Таким образом, знаменатель разлагается как:

$$x^2+5x-14=(x+7)(x-2)\mathrm{.}$$

Теперь неравенство принимает вид:

$$\frac{3(x-5)}{(x+7)(x-2)}\ge 0.$$

Шаг 2: Решение неравенства

Итак, неравенство $\frac{3(x-5)}{(x+7)(x-2)}\ge 0$ сводится к тому, чтобы решить:

$$(x+7)(x-2)(x-5)\ge 0.$$

Шаг 3: Определение знаков

Теперь найдем промежутки, на которых выражение будет неотрицательным. Для этого выделим нули выражения:

$$x+7=0\Rightarrow x=-7,$$$$x-2=0\Rightarrow x=2,$$$$x-5=0\Rightarrow x=5.$$

Таким образом, точки разделяют числовую ось на следующие интервалы: $(-\mathrm{\infty },-7)$, $(-7,2)$, $(2,5)$, $(5,+\mathrm{\infty })$.

Теперь проверим знак на каждом из этих интервалов:

• Для $x\in (-\mathrm{\infty },-7)$: Все множители отрицательные, произведение отрицательно.
• Для $x\in (-7,2)$: $x+7$ положительный, $x-2$ отрицательный, $x-5$ отрицательный. Произведение положительное.
• Для $x\in (2,5)$: $x+7$ положительный, $x-2$ положительный, $x-5$ отрицательный. Произведение отрицательное.
• Для $x\in (5,+\mathrm{\infty })$: Все множители положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

$$(-7,2)\cup [5,+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Ответ: $x\in (-7;2)\cup [5;+\mathrm{\infty })$.

2) $\frac{x-1}{x^2+4x+2}<0$

Шаг 1: Разложение знаменателя на множители

Для начала разложим знаменатель $x^2+4x+2$ на множители.

Решим уравнение:

$$x^2+4x+2=0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8.$$

Корни уравнения:

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{2}=-2\pm \sqrt{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, знаменатель разлагается как:

$$x^2+4x+2=(x+2+\sqrt{2})(x+2-\sqrt{2})\mathrm{.}$$

Шаг 2: Решение неравенства

Теперь неравенство принимает вид:

$$\frac{x-1}{(x+2+\sqrt{2})(x+2-\sqrt{2})}<0.$$

Шаг 3: Определение знаков

Нули числителя и знаменателя:

• $x-1=0\Rightarrow x=1$,
• $x+2+\sqrt{2}=0\Rightarrow x=-2-\sqrt{2}$,
• $x+2-\sqrt{2}=0\Rightarrow x=-2+\sqrt{2}$.

Промежутки, на которых будем проверять знаки:

$(-\mathrm{\infty },-2-\sqrt{2})$, $(-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$, $(-2+\sqrt{2},1)$, $(1,+\mathrm{\infty })$.

Проверим знак на каждом интервале:

• Для $x\in (-\mathrm{\infty },-2-\sqrt{2})$: Все множители отрицательные, дробь положительная.
• Для $x\in (-2-\sqrt{2},-2+\sqrt{2})$: $x-1$ отрицательный, а два множителя знаменателя положительные, дробь отрицательная.
• Для $x\in (-2+\sqrt{2},1)$: $x-1$ отрицательный, два множителя знаменателя отрицательные, дробь положительная.
• Для $x\in (1,+\mathrm{\infty })$: Все множители положительные, дробь положительная.

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах:

$$(-\mathrm{\infty },-2-\sqrt{2})\cup (-2+\sqrt{2},1)\mathrm{.}$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-2-\sqrt{2})\cup (-2+\sqrt{2};1)$.

3) $\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x-3}>0$

Шаг 1: Разложение числителя и знаменателя на множители

Начнем с числителя:

$$x^2+2x-8=0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot (-8)=4+32=36.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-2-\sqrt{36}}{2}=\frac{-2-6}{2}=-4,x_2=\frac{-2+\sqrt{36}}{2}=\frac{-2+6}{2}=2.$$

Таким образом, числитель разлагается как:

$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2)\mathrm{.}$$

Теперь разложим знаменатель:

$$x^2-2x-3=0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1,x_2=\frac{2+4}{2}=3.$$

Таким образом, знаменатель разлагается как:

$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\mathrm{.}$$

Шаг 2: Решение неравенства

Теперь неравенство принимает вид:

$$\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1)(x-3)}>0.$$

Шаг 3: Определение знаков

Нули числителя и знаменателя:

• $x+4=0\Rightarrow x=-4$,
• $x-2=0\Rightarrow x=2$,
• $x+1=0\Rightarrow x=-1$,
• $x-3=0\Rightarrow x=3$.

Промежутки: $(-\mathrm{\infty },-4)$, $(-4,-1)$, $(-1,2)$, $(2,3)$, $(3,+\mathrm{\infty })$.

Проверяем знак на каждом интервале:

• Для $x\in (-\mathrm{\infty },-4)$: Все множители отрицательные, дробь положительная.
• Для $x\in (-4,-1)$: $x+4$ положительный, остальные отрицательные, дробь отрицательная.
• Для $x\in (-1,2)$: $x+4$ положительный, $x-2$ отрицательный, дробь положительная.
• Для $x\in (2,3)$: $x+4$ положительный, $x-2$ положительный, дробь отрицательная.
• Для $x\in (3,+\mathrm{\infty })$: Все множители положительные, дробь положительная.

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-4)\cup (-1;2)\cup (3;+\mathrm{\infty })$.