ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 959 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1. у = х5- 2,5х2 + 3;
2. у = 0,2х5 — 4х2 — 3.

$y = x^5 — 2,5x^2 + 3$;

$y'(x) = (x^5)’ — 2,5 \cdot (x^2)’ + (3)’$;

$y'(x) = 5x^4 — 2,5 \cdot 2x + 0$;

$y'(x) = 5x^4 — 5x$;

Промежуток возрастания:

$5x^4 — 5x > 0$;

$5x \cdot (x^3 — 1) > 0$;

$x < 0$ или $x > 1$;

Значения функции:

$y(0) = 0^5 — 2,5 \cdot 0^2 + 3 = 3$;

$y(1) = 1^5 — 2,5 \cdot 1^2 + 3 = 1 — 2,5 + 3 = 1,5$;

Ответ: $x = 1$ — точка минимума, $y(1) = 1,5$;

$x = 0$ — точка максимума, $y(0) = 3$.

$y = 0,2x^5 — 4x^2 — 3$;

$y'(x) = 0,2 \cdot (x^5)’ — 4 \cdot (x^2)’ — (3)’$;

$y'(x) = 0,2 \cdot 5x^4 — 4 \cdot 2x — 0$;

$y'(x) = x^4 — 8x$;

Промежуток возрастания:

$x^4 — 8x > 0$;

$x \cdot (x^3 — 8) > 0$;

$x < 0$ или $x > 2$;

Значения функции:

$y(0) = 0,2 \cdot 0^5 — 4 \cdot 0^2 — 3 = -3$;

$y(2) = 0,2 \cdot 2^5 — 4 \cdot 2^2 — 3 = 6,4 — 16 — 3 = -12,6$;

Ответ: $x = 2$ — точка минимума, $y(2) = -12,6$;

$x = 0$ — точка максимума, $y(0) = -3$.

1) $y = x^5 — 2{,}5x^2 + 3$

Шаг 1: Найдём производную $y'(x)$

Применяем правило дифференцирования суммы и произведения на константу:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^5) — 2{,}5 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3)$$

Вычисляем:

• $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4$
• $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$
• $\frac{d}{dx}(3) = 0$

Подставляем:

$$y'(x) = 5x^4 — 2{,}5 \cdot 2x + 0 = 5x^4 — 5x$$

Шаг 2: Найдём критические точки

Приравниваем производную к нулю:

$$5x^4 — 5x = 0$$

Вынесем $5x$:

$$5x(x^3 — 1) = 0$$

Решим:

• $x = 0$
• $x^3 — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Шаг 3: Исследуем знак производной

Разбиваем числовую прямую на интервалы по критическим точкам $x = 0$ и $x = 1$:

• $(-\infty,\ 0)$
• $(0,\ 1)$
• $(1,\ +\infty)$

Выбираем по одной точке из каждого интервала и подставляем в производную $y'(x) = 5x^4 — 5x$:

• $x = -1 \Rightarrow y'(-1) = 5 \cdot 1 — 5 \cdot (-1) = 5 + 5 = 10 > 0$
• $x = 0{,}5 \Rightarrow y'(0{,}5) = 5 \cdot (0{,}5)^4 — 5 \cdot 0{,}5 = 5 \cdot 0{,}0625 — 2{,}5 = 0{,}3125 — 2{,}5 < 0$
• $x = 2 \Rightarrow y'(2) = 5 \cdot 16 — 5 \cdot 2 = 80 — 10 = 70 > 0$

Шаг 4: Делим ось и делаем вывод

Шаг 5: Определим экстремумы

• $x = 0$: производная меняется с $+$ на $—$ ⇒ точка максимума
• $x = 1$: производная меняется с $—$ на $+$ ⇒ точка минимума

Шаг 6: Найдём значения функции в критических точках

• $y(0) = 0^5 — 2{,}5 \cdot 0^2 + 3 = 3$
• $y(1) = 1^5 — 2{,}5 \cdot 1^2 + 3 = 1 — 2{,}5 + 3 = 1{,}5$

Ответ:

• Максимум: $x = 0$, $y = 3$
• Минимум: $x = 1$, $y = 1{,}5$
• Промежутки возрастания: $x < 0$, $x > 1$
• Промежуток убывания: $0 < x < 1$

2) $y = 0{,}2x^5 — 4x^2 — 3$

Шаг 1: Найдём производную $y'(x)$

$$y'(x) = 0{,}2 \cdot \frac{d}{dx}(x^5) — 4 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) — \frac{d}{dx}(3)$$

Вычисляем:

• $\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4 \Rightarrow 0{,}2 \cdot 5x^4 = x^4$
• $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x \Rightarrow -4 \cdot 2x = -8x$

Получаем:

$$y'(x) = x^4 — 8x$$

Шаг 2: Найдём критические точки

$$x^4 — 8x = 0 \Rightarrow x(x^3 — 8) = 0$$

• $x = 0$
• $x^3 — 8 = 0 \Rightarrow x = 2$

Шаг 3: Исследуем знак производной

Разбиваем на интервалы:

• $(-\infty,\ 0)$
• $(0,\ 2)$
• $(2,\ +\infty)$

Подставим значения в $y'(x) = x^4 — 8x$:

• $x = -1 \Rightarrow y'(-1) = 1 — (-8) = 9 > 0$
• $x = 1 \Rightarrow y'(1) = 1 — 8 = -7 < 0$
• $x = 3 \Rightarrow y'(3) = 81 — 24 = 57 > 0$

Шаг 4: Делим ось и делаем вывод

Шаг 5: Определим экстремумы

• $x = 0$: производная меняется с $+$ на $—$ ⇒ максимум
• $x = 2$: производная меняется с $—$ на $+$ ⇒ минимум

Шаг 6: Найдём значения функции

• $y(0) = 0{,}2 \cdot 0 — 0 — 3 = -3$
• $y(2) = 0{,}2 \cdot 32 — 4 \cdot 4 — 3 = 6{,}4 — 16 — 3 = -12{,}6$

Ответ:

• Максимум: $x = 0$, $y = -3$
• Минимум: $x = 2$, $y = -12{,}6$
• Промежутки возрастания: $x < 0$, $x > 2$
• Промежуток убывания: $0 < x < 2$