ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 470 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. (1 — cos 2а) (1 + cos 2а) = sin2 2а;
2. (sina-1)/cos2a = -1/(1+sina)
3. cos4 а — sin4 а = cos2 а — sin2 а;
4. (sin2 а — cos2 а)2 + 2 cos2 а sin2 а = sin4 а + cos4 а;
5. sina/(1+cosa) + (1+ cos а)/ sina = 2/sina;
6. sina/(1-cosa) = (1+cosa) / sina;
7. 1/(1+tg2a) + 1/(1+ctg2a) =1;
8. tg2 а — sin2 а = tg2 a sin2 a.

Доказать тождество:

$(1 — \cos 2a)(1 + \cos 2a) = \sin^2 2a$;

$1 + \cos 2a — \cos 2a — \cos^2 2a = \sin^2 2a$;

$1 — \cos^2 2a = \sin^2 2a$;

$\sin^2 2a = \sin^2 2a$;

Тождество доказано.

2. $\frac{\sin a — 1}{\cos^2 a} = -\frac{1}{1 + \sin a}$;

$\frac{\sin a — 1}{1 — \sin^2 a} = -\frac{1}{1 + \sin a}$;

$\frac{1 — \sin a}{(1 — \sin a)(1 + \sin a)} = -\frac{1}{1 + \sin a}$;

$-\frac{1}{1 + \sin a} = \frac{1}{1 + \sin a}$;

Тождество доказано.

$\cos^4 a — \sin^4 a = \cos^2 a — \sin^2 a$;

$\cos^4 a — \sin^4 a = \cos^2 a — \sin^2 a$;

$(\cos^2 a — \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a) = \cos^2 a — \sin^2 a$;

$\cos^2 a — \sin^2 a = \cos^2 a — \sin^2 a$;

Тождество доказано.

$(\sin^2 a — \cos^2 a)^2 + 2 \cos^2 a \cdot \sin^2 a = \sin^4 a + \cos^4 a$;

$\sin^4 a — 2 \cos^2 a \cdot \sin^2 a + \cos^4 a + 2 \cos^2 a \cdot \sin^2 a = \sin^4 a + \cos^4 a$;

$\sin^4 a + \cos^4 a = \sin^4 a + \cos^4 a$;

Тождество доказано.

5. $\frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a} = \frac{2}{\sin a}$;

$\frac{\sin^2 a + (1 + \cos a)^2}{(1 + \cos a) \cdot \sin a} = \frac{2}{\sin a}$;

$\frac{\sin^2 a + 1 + 2 \cos a + \cos^2 a}{(1 + \cos a) \cdot \sin a} = \frac{2}{\sin a}$;

$\frac{1 + 1 + 2 \cos a}{(1 + \cos a) \cdot \sin a} = \frac{2}{\sin a}$;

$\frac{2(1 + \cos a)}{(1 + \cos a) \cdot \sin a} = \frac{2}{\sin a}$;

$\frac{2}{\sin a} = \frac{2}{\sin a}$;

Тождество доказано.

6. $\frac{\sin a}{1 — \cos a} = \frac{1 + \cos a}{\sin a}$;

$\frac{\sin^2 a}{(1 — \cos a) \cdot \sin a} = \frac{1 + \cos a}{\sin a}$;

$\frac{1 — \cos^2 a}{(1 — \cos a) \cdot \sin a} = \frac{1 + \cos a}{\sin a}$;

$\frac{(1 — \cos a)(1 + \cos a)}{(1 — \cos a) \cdot \sin a} = \frac{1 + \cos a}{\sin a}$;

$\frac{1 + \cos a}{\sin a} = \frac{1 + \cos a}{\sin a}$;

Тождество доказано.

7. $\frac{1}{1 + \tg^2 a} + \frac{1}{1 + \ctg^2 a} = 1$;

$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$;

$1 = 1$;

Тождество доказано.

$\tg^2 a — \sin^2 a = \tg^2 a \cdot \sin^2 a$;

$\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} — \sin^2 a = \tg^2 a \cdot \sin^2 a$;

$\sin^2 a \cdot \left(\frac{1}{\cos^2 a} — 1\right) = \tg^2 a \cdot \sin^2 a$;

$\sin^2 a \cdot \frac{1 — \cos^2 a}{\cos^2 a} = \tg^2 a \cdot \sin^2 a$;

$\sin^2 a \cdot \tg^2 a = \tg^2 a \cdot \sin^2 a$;

Тождество доказано.

1) Доказать тождество:

$$(1 — \cos 2a)(1 + \cos 2a) = \sin^2 2a$$

Шаг 1. Узнаем, что в левой части — разность квадратов:

$$(1 — \cos 2a)(1 + \cos 2a) = 1^2 — (\cos 2a)^2 = 1 — \cos^2 2a$$

Шаг 2. Используем основное тригонометрическое тождество:

$$1 — \cos^2 2a = \sin^2 2a$$

Вывод:

$$\sin^2 2a = \sin^2 2a \Rightarrow \text{тождество доказано}$$

2) Доказать:

$$\frac{\sin a — 1}{\cos^2 a} = -\frac{1}{1 + \sin a}$$

Шаг 1. Заменим $\cos^2 a$ на $1 — \sin^2 a$ по тождеству:

$$\frac{\sin a — 1}{1 — \sin^2 a}$$

Шаг 2. Заметим, что $\sin a — 1 = -(1 — \sin a)$. Значит:

$$\frac{-(1 — \sin a)}{(1 — \sin a)(1 + \sin a)} = -\frac{1}{1 + \sin a}$$

Вывод:

$$-\frac{1}{1 + \sin a} = -\frac{1}{1 + \sin a} \Rightarrow \text{тождество доказано}$$

3) Доказать:

$$\cos^4 a — \sin^4 a = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Шаг 1. Распознаём разность квадратов:

$$\cos^4 a — \sin^4 a = (\cos^2 a)^2 — (\sin^2 a)^2 = (\cos^2 a — \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a)$$

Шаг 2. Используем основное тождество:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Шаг 3. Получаем:

$$(\cos^2 a — \sin^2 a) \cdot 1 = \cos^2 a — \sin^2 a$$

Вывод:

$$\cos^2 a — \sin^2 a = \cos^2 a — \sin^2 a \Rightarrow \text{тождество доказано}$$

4) Доказать:

$$(\sin^2 a — \cos^2 a)^2 + 2 \cos^2 a \cdot \sin^2 a = \sin^4 a + \cos^4 a$$

Шаг 1. Раскроем квадрат:

$$(\sin^2 a — \cos^2 a)^2 = \sin^4 a — 2 \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a$$

Шаг 2. Прибавим второе слагаемое:

$$\sin^4 a — 2 \sin^2 a \cos^2 a + \cos^4 a + 2 \sin^2 a \cos^2 a$$

Шаг 3. Сократим:

$$-2 \sin^2 a \cos^2 a + 2 \sin^2 a \cos^2 a = 0$$

Шаг 4. Остаётся:

$$\sin^4 a + \cos^4 a$$

Вывод:
Левая часть = правая. Тождество доказано.

5) Доказать:

$$\frac{\sin a}{1 + \cos a} + \frac{1 + \cos a}{\sin a} = \frac{2}{\sin a}$$

Шаг 1. Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sin^2 a + (1 + \cos a)^2}{(1 + \cos a)\sin a}$$

Шаг 2. Раскроем квадрат:

$$(1 + \cos a)^2 = 1 + 2\cos a + \cos^2 a$$

Шаг 3. Складываем:

$$\sin^2 a + 1 + 2\cos a + \cos^2 a$$

Шаг 4. Заменим $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$:

$$1 + 1 + 2\cos a = 2(1 + \cos a)$$

Шаг 5. Подставим:

$$\frac{2(1 + \cos a)}{(1 + \cos a)\sin a} = \frac{2}{\sin a}$$

Вывод:
Тождество доказано.

6) Доказать:

$$\frac{\sin a}{1 — \cos a} = \frac{1 + \cos a}{\sin a}$$

Шаг 1. Умножим обе части на $\sin a$:

$$\frac{\sin^2 a}{1 — \cos a} = 1 + \cos a$$

Шаг 2. Заменим $\sin^2 a = 1 — \cos^2 a$:

$$\frac{1 — \cos^2 a}{1 — \cos a} = 1 + \cos a$$

Шаг 3. Распознаём разность квадратов:

$$\frac{(1 — \cos a)(1 + \cos a)}{1 — \cos a}$$

Шаг 4. Сокращаем:

$$1 + \cos a = 1 + \cos a$$

Вывод:
Тождество доказано.

7) Доказать:

$$\frac{1}{1 + \tg^2 a} + \frac{1}{1 + \ctg^2 a} = 1$$

Шаг 1. Используем тождества:

• $1 + \tg^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} \Rightarrow \frac{1}{1 + \tg^2 a} = \cos^2 a$
• $1 + \ctg^2 a = \frac{1}{\sin^2 a} \Rightarrow \frac{1}{1 + \ctg^2 a} = \sin^2 a$

Шаг 2. Складываем:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Вывод:
Тождество доказано.

8) Доказать:

$$\tg^2 a — \sin^2 a = \tg^2 a \cdot \sin^2 a$$

Шаг 1. Выразим $\tg^2 a$:

$$\tg^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$

Шаг 2. Подставим:

$$\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} — \sin^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} \cdot \sin^2 a$$

Шаг 3. Вынесем $\sin^2 a$ за скобку слева:

$$\sin^2 a \left(\frac{1}{\cos^2 a} — 1 \right)$$

Шаг 4. Упростим:

$$\frac{1 — \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$

Шаг 5. Получаем:

$$\sin^2 a \cdot \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tg^2 a \cdot \sin^2 a$$

Вывод:
Обе части равны. Тождество доказано.