ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 569 Алимов — Подробные Ответы

1. arccos0+3 arccos1;
2. 3 arccos(-1) — 2 arccos0;
3. 12 arccos корень 3/2 — 3 arccos(-1/2);
4. 4arccos(-корень 2/2) + 6 arccos(-корень 3/2).

$\mathrm{1.\; 2}\arccos 0+3\arccos 1=2\cdot \frac{\pi }{2}+3\cdot 0=\pi +0=\pi$

$\mathrm{2.\; 3}\arccos (-1)-2\arccos 0=3(\pi -\arccos 1)-2\cdot \frac{\pi }{2}=3(\pi -0)-\pi =3\pi -\pi =2\pi$

$\mathrm{3.\; 12}\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}-3\arccos (-\frac{1}{2})=12\cdot \frac{\pi }{6}-3(\pi -\arccos \frac{1}{2})=2\pi -3(\pi -\frac{\pi }{3})=$

$=2\pi -3\pi +\pi =0$

$\mathrm{4.\; 4}\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})+6\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})=4(\pi -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2})+6(\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2})=$

$=4(\pi -\frac{\pi }{4})+6(\pi -\frac{\pi }{6})=4\pi -\pi +6\pi -\pi =8\pi$

1) $2\arccos 0+3\arccos 1=?$

Шаг 1: Вычислим $\arccos 0$

$$\arccos 0=\frac{\pi }{2}$$

(потому что $\cos \frac{\pi }{2}=0$).

Шаг 2: Вычислим $\arccos 1$

$$\arccos 1=0$$

(потому что $\cos 0=1$).

Шаг 3: Подставим и посчитаем

$$2\cdot \arccos 0+3\cdot \arccos 1=2\cdot \frac{\pi }{2}+3\cdot 0=\pi +0=\pi$$

2) $3\arccos (-1)-2\arccos 0=?$

Шаг 1: Вычислим $\arccos (-1)$

Из свойства:

$$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$$

так как

$$\arccos (-1)=\pi -\arccos 1=\pi -0=\pi$$

(потому что $\cos \pi =-1$).

Шаг 2: Вычислим $\arccos 0$

$$\arccos 0=\frac{\pi }{2}$$

(как в первом пункте).

Шаг 3: Подставим и посчитаем

$$3\cdot \arccos (-1)-2\cdot \arccos 0=3\cdot \pi -2\cdot \frac{\pi }{2}=3\pi -\pi =2\pi$$

3) $12\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}-3\arccos (-\frac{1}{2})=?$

Шаг 1: Вычислим $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$

Из таблицы значений:

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$$

(потому что $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$).

Шаг 2: Вычислим $\arccos (-\frac{1}{2})$

Используем свойство:

$$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$$

Значит:

$$\arccos (-\frac{1}{2})=\pi -\arccos \frac{1}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$$

(потому что $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$).

Шаг 3: Подставим и посчитаем

$$12\cdot \frac{\pi }{6}-3\cdot \frac{2\pi }{3}=2\pi -2\pi =0$$

4) $4\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})+6\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})=?$

Шаг 1: Вычислим $\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

Используем:

$$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$$

Значит:

$$\arccos (-\frac{\sqrt{2}}{2})=\pi -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$$

Шаг 2: Вычислим $\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

Аналогично:

$$\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{2})=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$$

Шаг 3: Подставим и посчитаем

$$4\cdot \frac{3\pi }{4}+6\cdot \frac{5\pi }{6}=3\pi +5\pi =8\pi$$

Итог: