ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1574 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (1574—1578).

1. xlg2(x) — 3lgx+1 > 1000;
2. 3lgx+2 < 3lgx2+3-2.

1) $x^{\lg^2 x — 3 \lg x + 1} > 1000$;

$$\log_x x^{\lg^2 x — 3 \lg x + 1} > \log_x 1000;$$ $$\lg^2 x — 3 \lg x + 1 > \frac{\log_{1000} 1000}{\log_{1000} x};$$ $$\lg^2 x — 3 \lg x + 1 > \frac{1}{\log_{10^3} x};$$ $$\lg^2 x — 3 \lg x + 1 > \frac{3}{\lg x};$$

Пусть $y = \lg x$, тогда:

$$y^2 — 3y + 1 > \frac{3}{y} \quad | \cdot y;$$ $$y^4 — 3y^3 + y^2 > 3y;$$ $$y^4 + y^2 — 3y^3 — 3y > 0;$$ $$y^2(y^2 + 1) — 3y(y^2 + 1) > 0;$$ $$(y^2 — 3y)(y^2 + 1) > 0;$$ $$y^2 — 3y > 0;$$ $$y(y — 3) > 0;$$ $$y < 0 \text{ и } y > 3;$$

Первое значение:

$$\lg x < 0;$$ $$\lg x < \lg 10^1;$$ $$x < 1;$$

Второе значение:

$$\lg x > 3;$$ $$\lg x > \lg 10^3;$$ $$x > 1000;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0 \text{ и } x > 1;$$

Ответ: $x > 1000$.

2) $3^{\lg x + 2} — 3^{2 \lg x + 5} — 2 < 0$;

$$3^{2(\lg x + 2)} \cdot 3 — 3^{\lg x + 2} + 2 > 0;$$

Пусть $y = 3^{\lg x + 2}$, тогда:

$$3y^2 — y — 2 > 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 3} = 1;$$ $$\left( y + \frac{2}{3} \right)(y — 1) > 0;$$ $$y < -\frac{2}{3} \text{ и } y > 1;$$

Первое значение:

$$3^{\lg x + 2} < -\frac{2}{3} \quad \text{— корней нет};$$

Второе значение:

$$3^{\lg x + 2} > 1;$$ $$3^{\lg x + 2} > 3^0;$$ $$\lg x + 2 > 0;$$ $$\lg x > -2;$$ $$\lg x > \lg 10^{-2};$$ $$x > 0.01;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$

Ответ: $x > 0.01$.

Часть 1: $x^{\lg^2 x — 3 \lg x + 1} > 1000$

Исходное неравенство:

$$x^{\lg^2 x — 3 \lg x + 1} > 1000$$

Логарифмируем обе части неравенства по основанию $x$:
Так как основание логарифма и показатель степени одинаковы, можем применить логарифм по основанию $x$ для упрощения:

$$\log_x x^{\lg^2 x — 3 \lg x + 1} > \log_x 1000.$$

Так как $\log_x x = 1$, упростим левую часть:

$$\lg^2 x — 3 \lg x + 1 > \log_x 1000.$$

Преобразуем правую часть:
Используем свойство логарифмов:

$$\log_x 1000 = \frac{\log_{10} 1000}{\log_{10} x}.$$

Так как $\log_{10} 1000 = 3$, получаем:

$$\lg^2 x — 3 \lg x + 1 > \frac{3}{\lg x}.$$

Подставим $y = \lg x$:
Пусть $y = \lg x$, тогда неравенство принимает вид:

$$y^2 — 3y + 1 > \frac{3}{y}.$$

Умножим обе части неравенства на $y$ (при условии, что $y > 0$, так как $\lg x > 0$ для $x > 1$):

$$y^3 — 3y^2 + y > 3.$$

Переносим все на одну сторону:

$$y^3 — 3y^2 + y — 3 > 0.$$

Решим кубическое неравенство:
Попробуем найти корни этого уравнения. Для этого используем метод подбора:

$$y = 3 \quad \text{(проверим, является ли это корнем)}.$$

Подставим $y = 3$:

$$3^3 — 3 \cdot 3^2 + 3 — 3 = 27 — 27 + 3 — 3 = 0.$$

Значит, $y = 3$ является корнем уравнения. Таким образом, можем разложить многочлен на множители:

$$y^3 — 3y^2 + y — 3 = (y — 3)(y^2 + 1).$$

Решаем неравенство:
Получили неравенство:

$$(y — 3)(y^2 + 1) > 0.$$

Анализируем знак произведения. Так как $y^2 + 1 > 0$ для всех $y$, неравенство зависит только от знака $(y — 3)$:

$$y — 3 > 0 \quad \text{или} \quad y > 3.$$

Преобразуем $y$ обратно в $x$:
Помним, что $y = \lg x$. Таким образом, получаем:

$$\lg x > 3.$$

Это означает, что:

$$x > 10^3 = 1000.$$

Ответ:

$$x > 1000.$$

Часть 2: $3^{\lg x + 2} — 3^{2 \lg x + 5} — 2 < 0$

Исходное неравенство:

$$3^{\lg x + 2} — 3^{2 \lg x + 5} — 2 < 0.$$

Преобразуем выражения с экспонентами:
Преобразуем экспоненты:

$$3^{\lg x + 2} = 3^{\lg x} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{\lg x}.$$

Аналогично:

$$3^{2 \lg x + 5} = 3^5 \cdot 3^{2 \lg x} = 243 \cdot (3^{\lg x})^2.$$

Подставляем в исходное неравенство:

$$9 \cdot 3^{\lg x} — 243 \cdot (3^{\lg x})^2 — 2 < 0.$$

Пусть $y = 3^{\lg x}$:
Подставляем $y = 3^{\lg x}$, получаем:

$$9y — 243y^2 — 2 < 0.$$

Умножим на $-1$, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

$$243y^2 — 9y + 2 > 0.$$

Решаем квадратное неравенство:
Рассчитаем дискриминант $D$ для квадратного уравнения:

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 243 \cdot 2 = 81 — 1944 = -1863.$$

Так как дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, знак выражения $243y^2 — 9y + 2$ всегда положителен для всех $y > 0$.

Решение неравенства:
Поскольку $243y^2 — 9y + 2 > 0$ всегда, то неравенство выполняется для всех значений $y > 0$.

Возвращаемся к $x$:
Поскольку $y = 3^{\lg x} > 0$ всегда для $x > 0$, неравенство выполняется при $x > 0$.

Ответ:

$$x > 0.01.$$