ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 501 Алимов — Подробные Ответы

1. $2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$
2. $\cos^2 \frac{\pi}{8} — \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2};$
3. $\frac{2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}}{1 — \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{8}} = \operatorname{tg} \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1;$
4. $\frac{\sqrt{2}}{2} — \left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right)^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} — \left( \cos^2 \frac{\pi}{8} + 2 \cos \frac{\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} \right) =$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} — \left( \cos^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} — \left( 1 + \cos \frac{\pi}{4} \right) =$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} — \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} — 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = -1;$

1) $2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8}$

Шаг 1: Узнаем формулу.
Из тригонометрии:

$$2 \sin A \cos A = \sin(2A)$$

Шаг 2: Подставим $A = \frac{\pi}{8}$:

$$2 \sin \frac{\pi}{8} \cdot \cos \frac{\pi}{8} = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right)$$

Шаг 3: Упростим аргумент:

$$\sin \left( \frac{2\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 4: Найдём значение синуса:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{ \frac{\sqrt{2}}{2} }$$

2) $\cos^2 \frac{\pi}{8} — \sin^2 \frac{\pi}{8}$

Шаг 1: Узнаем формулу.
Формула двойного угла:

$$\cos^2 A — \sin^2 A = \cos(2A)$$

Шаг 2: Подставим $A = \frac{\pi}{8}$:

$$\cos^2 \frac{\pi}{8} — \sin^2 \frac{\pi}{8} = \cos \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right)$$

Шаг 3: Упростим аргумент:

$$\cos \left( \frac{2\pi}{8} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 4: Найдём значение косинуса:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{ \frac{\sqrt{2}}{2} }$$

3) $\frac{2 \tan \frac{\pi}{8}}{1 — \tan^2 \frac{\pi}{8}}$

Шаг 1: Узнаем формулу.
Формула тангенса двойного угла:

$$\tan(2A) = \frac{2 \tan A}{1 — \tan^2 A}$$

Шаг 2: Подставим $A = \frac{\pi}{8}$:

$$\frac{2 \tan \frac{\pi}{8}}{1 — \tan^2 \frac{\pi}{8}} = \tan \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right)$$

Шаг 3: Упростим аргумент:

$$\tan \left( \frac{2\pi}{8} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{4} \right)$$

Шаг 4: Найдём значение тангенса:

$$\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1$$

Ответ:

$$\boxed{1}$$

4) $\frac{\sqrt{2}}{2} — \left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right)^2$

Шаг 1: Раскроем квадрат суммы:

$$\left( \cos \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{8} \right)^2 = \cos^2 \frac{\pi}{8} + 2 \cos \frac{\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{\pi}{8}$$

Шаг 2: Используем тождество:

$$\cos^2 A + \sin^2 A = 1$$

Шаг 3: Подставим:

$$= 1 + 2 \cos \frac{\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8}$$

Шаг 4: Преобразуем произведение:

$$2 \cos \frac{\pi}{8} \cdot \sin \frac{\pi}{8} = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{8} \right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 5: Тогда весь квадрат суммы равен:

$$1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 6: Вычтем это из $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} — \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

Шаг 7: Раскроем скобки и упростим:

$$= \frac{\sqrt{2}}{2} — 1 — \frac{\sqrt{2}}{2} = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$