ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1008 Алимов — Подробные Ответы

1. интеграл (-2;1) x(x+3)(2x-1)dx;
2. интеграл (-1;0) (x+1)(x2-2)dx;
3. интеграл (1;2) (x+1/x)2dx;
4. интеграл (-2;-1) 4/x2*(1-2/x)dx.

1)

$${\int }_{-2}^{1}x(x+3)(2x-1)dx={\int }_{-2}^1(2x^3-x^2+6x^2-3x)dx=$$$$={\int }_{-2}^1(2x^3+5x^2-3x)dx=(2\cdot \frac{x^4}{4}+5\cdot \frac{x^3}{3}-3\cdot \frac{x^2}{2}){\mid }_{-2}^1=$$$$=(\frac{x^4}{2}+5\cdot \frac{x^3}{3}-3\cdot \frac{x^2}{2}){\mid }_{-2}^1=$$$$=\frac{1^4}{2}+5\cdot \frac{1^3}{3}-3\cdot \frac{1^2}{2}-\frac{(-2{)}^4}{2}-5\cdot \frac{(-2{)}^3}{3}+3\cdot \frac{(-2{)}^2}{2}=$$$$=\frac{1}{2}+\frac{5}{3}-\frac{3}{2}-\frac{16}{2}+\frac{40}{3}+\frac{12}{2}=-\frac{6}{2}+\frac{45}{3}=-3+15=12;$$

2)

$${\int }_{-1}^0(x+1)(x^2-2)dx={\int }_{-1}^0(x^3-2x+x^2-2)dx=$$$$=(\frac{x^4}{4}-2\cdot \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-2\cdot \frac{x^1}{1}){\mid }_{-1}^0=(\frac{x^4}{4}-x^2+\frac{x^3}{3}-2x){\mid }_{-1}^0=$$$$=\frac{0^4}{4}-0^2+\frac{0^3}{3}-2\cdot 0-\frac{(-1{)}^4}{4}+(-1{)}^2-\frac{(-1{)}^3}{3}+2\cdot (-1)=$$$$=-\frac{1}{4}+1+\frac{1}{3}-2=-1-\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=-1+\frac{1}{12}=-\frac{11}{12};$$

3)

$${\int }_1^2{(x+\frac{1}{x})}^{2}dx={\int }_1^2(x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})dx={\int }_1^2(x^2+2+x^{-2})dx=$$$$=(\frac{x^3}{3}+2\cdot \frac{x^1}{1}+\frac{x^{-1}}{-1}){\mid }_1^2=(\frac{x^3}{3}+2x-\frac{1}{x}){\mid }_1^2=$$$$=\frac{2^3}{3}+2\cdot 2-\frac{1}{2}-\frac{1^3}{3}-2\cdot 1+\frac{1}{1}=$$$$=\frac{8}{3}+4-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-1=3+\frac{7}{3}-\frac{1}{2}=3+\frac{14}{6}-\frac{3}{6}=3+\frac{11}{6}=3+1\frac{5}{6}=4\frac{5}{6};$$

4)

$${\int }_{-2}^{-1}\frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x})dx={\int }_{-2}^{-1}(\frac{4}{x^2}-\frac{8}{x^3})dx={\int }_{-2}^{-1}(4\cdot x^{-2}-3\cdot x^{-3})dx=$$$$=(4\cdot \frac{x^{-1}}{-1}-8\cdot \frac{x^{-2}}{-2}){\mid }_{-2}^{-1}=(-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}){\mid }_{-2}^{-1}=$$$$=-\frac{4}{-1}+\frac{4}{(-1{)}^2}+\frac{4}{-2}-\frac{4}{(-2{)}^2}=$$$$=4+4-2-1=5$$

1) ${\int }_{-2}^{1}x(x+3)(2x-1)dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x)=x(x+3)(2x-1)$ на интервале от $-2$ до $1$.

Шаг 1: Раскрытие скобок.

Начнем с раскрытия скобок, чтобы упростить выражение. Раскроем произведение $x(x+3)(2x-1)$.

Умножим $x$ на $(x+3)$:

$$x(x+3)=x^2+3x\mathrm{.}$$

Умножим полученное выражение $(x^2+3x)$ на $(2x-1)$:

$$(x^2+3x)(2x-1)=x^2(2x-1)+3x(2x-1)\mathrm{.}$$

Теперь раскрываем каждое слагаемое:

$$x^2(2x-1)=2x^3-x^2,$$$$3x(2x-1)=6x^2-3x\mathrm{.}$$

Таким образом, исходное выражение преобразуется в:

$$2x^3-x^2+6x^2-3x=2x^3+5x^2-3x\mathrm{.}$$

Шаг 2: Находим первообразную.

Теперь вычислим интеграл:

$${\int }_{-2}^1(2x^3+5x^2-3x)dx\mathrm{.}$$

Используем стандартные формулы для интегрирования:

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\mathrm{.}$$

Для $2x^3$ первообразная будет:

$$\int 2x^{3}dx=\frac{2x^4}{4}=\frac{x^4}{2}\mathrm{.}$$

Для $5x^2$ первообразная будет:

$$\int 5x^{2}dx=\frac{5x^3}{3}\mathrm{.}$$

Для $-3x$ первообразная будет:

$$\int -3xdx=\frac{-3x^2}{2}\mathrm{.}$$

Таким образом, первообразная функции $2x^3+5x^2-3x$ будет:

$$F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{5x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь подставим пределы интегрирования $x=1$ и $x=-2$ в первообразную $F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{5x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}$:

$$F(1)=\frac{1^4}{2}+\frac{5\cdot 1^3}{3}-\frac{3\cdot 1^2}{2}=\frac{1}{2}+\frac{5}{3}-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}+\frac{5}{3}=-\frac{2}{2}+\frac{5}{3}=-1+\frac{5}{3}\mathrm{.}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$-1+\frac{5}{3}=-\frac{3}{3}+\frac{5}{3}=\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Теперь вычислим $F(-2)$:

$$F(-2)=\frac{(-2{)}^4}{2}+\frac{5\cdot (-2{)}^3}{3}-\frac{3\cdot (-2{)}^2}{2}=\frac{16}{2}+\frac{5\cdot (-8)}{3}-\frac{3\cdot 4}{2}=$$

$$=8-\frac{40}{3}-6=8-6-\frac{40}{3}=2-\frac{40}{3}\mathrm{.}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$2-\frac{40}{3}=\frac{6}{3}-\frac{40}{3}=-\frac{34}{3}\mathrm{.}$$

Теперь вычисляем разность $F(1)-F(-2)$:

$$F(1)-F(-2)=\frac{2}{3}-(-\frac{34}{3})=\frac{2}{3}+\frac{34}{3}=\frac{36}{3}=12.$$

Ответ:

$$12.$$

2) ${\int }_{-1}^0(x+1)(x^2-2)dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x)=(x+1)(x^2-2)$ на интервале от $-1$ до $0$.

Шаг 1: Раскрытие скобок.

Начнем с раскрытия скобок, чтобы упростить выражение:

$$(x+1)(x^2-2)=x(x^2-2)+1(x^2-2)=x^3-2x+x^2-2.$$

Таким образом, интеграл преобразуется в:

$${\int }_{-1}^0(x^3-2x+x^2-2)dx\mathrm{.}$$

Шаг 2: Находим первообразную.

Теперь находим первообразную для каждого слагаемого:

$$\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4},\int -2xdx=-x^2,\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3},\int -2dx=-2x\mathrm{.}$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x)=\frac{x^4}{4}-x^2+\frac{x^3}{3}-2x\mathrm{.}$$

Шаг 3: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь подставим пределы интегрирования $x=0$ и $x=-1$ в первообразную:

$$F(0)=\frac{0^4}{4}-0^2+\frac{0^3}{3}-2\cdot 0=0.$$

Подставим $x=-1$:

$$F(-1)=\frac{(-1{)}^4}{4}-(-1{)}^2+\frac{(-1{)}^3}{3}-2\cdot (-1)=\frac{1}{4}-1-\frac{1}{3}+2=\frac{1}{4}-1-\frac{1}{3}+2.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{4}-1-\frac{1}{3}+2=\frac{1}{4}-\frac{4}{4}-\frac{4}{12}+\frac{24}{12}=\frac{1}{4}-\frac{4}{4}-\frac{1}{3}+2=-\frac{3}{4}+\frac{1}{12}=-\frac{11}{12}\mathrm{.}$$

Теперь вычисляем разность $F(0)-F(-1)$:

$$F(0)-F(-1)=0-(-\frac{11}{12})=\frac{11}{12}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$-\frac{11}{12}\mathrm{.}$$

3) ${\int }_1^2{(x+\frac{1}{x})}^{2}dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x)={(x+\frac{1}{x})}^2$ на интервале от $1$ до $2$.

Шаг 1: Раскрытие скобок.

Начнем с раскрытия скобок:

$${(x+\frac{1}{x})}^2=x^2+2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2+2+\frac{1}{x^2}\mathrm{.}$$

Теперь интегрируем:

$${\int }_1^2(x^2+2+\frac{1}{x^2})dx={\int }_1^2{x}^{2}dx+{\int }_1^{2}2dx+{\int }_1^2\frac{1}{x^2}dx\mathrm{.}$$

Шаг 2: Находим первообразную.

Для $x^2$:

$$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}\mathrm{.}$$

Для $2$:

$$\int 2dx=2x\mathrm{.}$$

Для $\frac{1}{x^2}$:

$$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}\mathrm{.}$$

Теперь первообразная будет:

$$F(x)=\frac{x^3}{3}+2x-\frac{1}{x}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь подставим пределы интегрирования $x=2$ и $x=1$:

$$F(2)=\frac{2^3}{3}+2\cdot 2-\frac{1}{2}=\frac{8}{3}+4-\frac{1}{2}=\frac{8}{3}+\frac{12}{3}-\frac{1}{2}=\frac{20}{3}-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{20}{3}-\frac{1}{2}=\frac{40}{6}-\frac{3}{6}=\frac{37}{6}\mathrm{.}$$

Подставим $x=1$:

$$F(1)=\frac{1^3}{3}+2\cdot 1-\frac{1}{1}=\frac{1}{3}+2-1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\mathrm{.}$$

Теперь вычисляем разность:

$$F(2)-F(1)=\frac{37}{6}-\frac{4}{3}=\frac{37}{6}-\frac{8}{6}=\frac{29}{6}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\frac{29}{6}\mathrm{.}$$

4) ${\int }_{-2}^{-1}\frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x})dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x)=\frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x})$ на интервале от $-2$ до $-1$.

Шаг 1: Раскрытие скобок.

Начнем с раскрытия скобок:

$$\frac{4}{x^2}(1-\frac{2}{x})=\frac{4}{x^2}-\frac{8}{x^3}\mathrm{.}$$

Таким образом, интеграл преобразуется в:

$${\int }_{-2}^{-1}(\frac{4}{x^2}-\frac{8}{x^3})dx\mathrm{.}$$

Шаг 2: Находим первообразную.

Для интегралов $\frac{4}{x^2}$ и $\frac{8}{x^3}$, используем стандартные правила для степенных функций:

$$\int x^{-2}dx=-\frac{1}{x},\int x^{-3}dx=\frac{1}{2x^2}\mathrm{.}$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(x)=-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь подставим пределы интегрирования $x=-1$ и $x=-2$:

$$F(-1)=-\frac{4}{-1}+\frac{4}{(-1{)}^2}=4+4=8,$$$$F(-2)=-\frac{4}{-2}+\frac{4}{(-2{)}^2}=2+1=3.$$

Теперь вычисляем разность:

$$F(-1)-F(-2)=8-3=5.$$

Ответ:

$$5.$$