ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1035 Алимов — Подробные Ответы

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. у = корень x, x = 1, x = 4, у = 0;
2. у — cos х, х = 0, х=пи/3, у = 0;
3. у = х2, у = 2 — х;
4. у = 2х2, у = 0,5х + 1,5.

1) $y = \sqrt{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$;

Пересечения с осью $x$:

$$\sqrt{x} > 0, \text{ отсюда } x \neq 0;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left( \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right) \bigg|_{1}^{4} = \left( \frac{2}{3} x \sqrt{x} \right) \bigg|_{1}^{4};$$ $$S = \frac{2}{3} \cdot 4 \sqrt{4} — \frac{2}{3} \cdot 1 \sqrt{1} = \frac{8}{3} \cdot 2 — \frac{2}{3} = \frac{16}{3} — \frac{2}{3} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}.$$

Ответ: $4 \frac{2}{3}$.

2) $y = \cos x$, $x = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$, $y = 0$;

Пересечения с осью $x$:

$$\cos x \geqslant 0;$$ $$-\arccos 0 + 2\pi n < x < \arccos 0 + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$0 < x < \frac{\pi}{3};$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx = \sin x \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \sin \frac{\pi}{3} — \sin 0 = \frac{\sqrt{3}}{2};$$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) $y = x^2$ и $y = 2 — x$;

Точки пересечения функций:

$$x^2 = 2 — x;$$ $$x^2 + x — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-2}^{1} (2 — x — x^2) \, dx = \left( 2x — \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-2}^{1} =$$ $$= 2 \cdot 1 — \frac{1^2}{2} — \frac{1^3}{3} — \left( 2 \cdot (-2) + \frac{(-2)^2}{2} + \frac{(-2)^3}{3} \right) =$$ $$= 2 — \frac{1}{2} — \frac{1}{3} + 4 + \frac{4}{2} — \frac{8}{3} =$$ $$= 6 + \frac{3}{2} — \frac{9}{3} = 6 + 1.5 — 3 = 4.5;$$

Ответ: $4.5$.

4) $y = 2x^2$ и $y = 0.5x + 1.5$;

Точки пересечения функций:

$$2x^2 = 0.5x + 1.5;$$ $$2x^2 — 0.5x — 1.5 = 0;$$ $$4x^2 — x — 3 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 1 + 48 = 49, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 7}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2 \cdot 4} = 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-\frac{3}{4}}^{1} (0.5x + 1.5 — 2x^2) \, dx = \left( 0.5 \cdot \frac{x^2}{2} + 1.5x — 2 \cdot \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-\frac{3}{4}}^{1} =$$ $$= 0.5 \cdot \frac{1^2}{2} + 1.5 \cdot 1 — 2 \cdot \frac{1^3}{3} — \left( 0.5 \cdot \frac{\left( -\frac{3}{4} \right)^2}{2} + 1.5 \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) — 2 \cdot \frac{\left( -\frac{3}{4} \right)^3}{3} \right) =$$ $$= \frac{1}{4} + \frac{3}{2} — \frac{2}{3} — \left( \frac{9}{64} \cdot 0.5 — \frac{9}{8} + \frac{27}{96} \right) =$$ $$= \frac{1}{4} + \frac{3}{2} — \frac{2}{3} — \left( \frac{9}{128} — \frac{9}{8} + \frac{27}{96} \right) =$$ $$= \frac{1}{4} + \frac{3}{2} — \frac{2}{3} — \left( \frac{9}{128} — \frac{144}{128} + \frac{36}{128} \right) =$$ $$= \frac{1}{4} + \frac{3}{2} — \frac{2}{3} — \left( \frac{-99}{128} \right) =$$ $$= \frac{1}{4} + \frac{3}{2} — \frac{2}{3} + \frac{99}{128} =$$ $$= \frac{32}{128} + \frac{192}{128} — \frac{85.33}{128} + \frac{99}{128} =$$ $$= \frac{32 + 192 — 85.33 + 99}{128} = \frac{237.67}{128} = 1 \frac{151}{192}.$$

Ответ: $1 \frac{151}{192}$.

1) Найти площадь, ограниченную графиком $y = \sqrt{x}$, прямыми $x = 1$, $x = 4$, и осью $y = 0$.

Шаг 1: Уточнение границ и условий

График функции:

$$y = \sqrt{x} = x^{1/2}$$

Ограничивающие линии:

• Вертикальные: $x = 1$, $x = 4$
• Горизонтальная: $y = 0$ (ось $OX$)

Шаг 2: Формула для площади

Площадь под графиком между $x = 1$ и $x = 4$:

$$S = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx$$

Шаг 3: Вычисление интеграла

Применяем формулу:

$$\int x^{n} \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

В нашем случае $n = \frac{1}{2}$, тогда:

$$\int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} = \frac{2}{3} x \sqrt{x}$$

Шаг 4: Подстановка пределов интегрирования

$$S = \left. \frac{2}{3} x \sqrt{x} \right|_{1}^{4} = \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot \sqrt{4} — \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{1}$$ $$= \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 — \frac{2}{3} = \frac{16}{3} — \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$$

Ответ:

$$S = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}$$

2) Найти площадь под графиком $y = \cos x$ между $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{3}$

Шаг 1: Уточнение границ

Функция: $y = \cos x$

Ограничения: $x = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$, и $y = 0$
В этом промежутке $\cos x \geq 0$, функция выше оси $x$, поэтому всё в порядке — площадь считается как обычный интеграл.

Шаг 2: Интеграл

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx$$

Шаг 3: Найдём первообразную

$$\int \cos x \, dx = \sin x$$

Шаг 4: Подстановка пределов

$$S = \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) — \sin(0) = \frac{\sqrt{3}}{2} — 0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$S = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

3) Найти площадь между кривыми $y = x^2$ и $y = 2 — x$

Шаг 1: Найдём точки пересечения

Решим уравнение:

$$x^2 = 2 — x \Rightarrow x^2 + x — 2 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Шаг 2: Определим, какая функция выше

Проверим, например, в точке $x = 0$:

• $y = x^2 = 0$
• $y = 2 — x = 2$

Значит, на этом отрезке $y = 2 — x$ выше $y = x^2$

Шаг 3: Формула площади между двумя кривыми

$$S = \int_{-2}^{1} \left[ (2 — x) — x^2 \right] \, dx = \int_{-2}^{1} (2 — x — x^2) \, dx$$

Шаг 4: Интегрируем

$$\int (2 — x — x^2) \, dx = 2x — \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3}$$

Шаг 5: Подстановка пределов

В точке $x = 1$:

$$2 \cdot 1 — \frac{1^2}{2} — \frac{1^3}{3} = 2 — \frac{1}{2} — \frac{1}{3}$$

В точке $x = -2$:

$$2 \cdot (-2) — \frac{(-2)^2}{2} — \frac{(-2)^3}{3} = -4 — 2 + \frac{8}{3} = -6 + \frac{8}{3}$$

Итак, площадь:

$$S = \left[ 2 — \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right] — \left[ -6 + \frac{8}{3} \right] = \left( \frac{12 — 3 — 2}{6} \right) + \left( 6 — \frac{8}{3} \right) = \frac{7}{6} + \left( \frac{18 — 8}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = 4.5$$

Ответ:

$$S = 4.5$$

4) Найти площадь между кривыми $y = 2x^2$ и $y = 0.5x + 1.5$

Шаг 1: Найдём точки пересечения

$$2x^2 = 0.5x + 1.5 \Rightarrow 2x^2 — 0.5x — 1.5 = 0 \Rightarrow 4x^2 — x — 3 = 0$$

Шаг 2: Найдём корни

Дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$$

Корни:

$$x_1 = \frac{1 — 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}, \quad x_2 = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1$$

Шаг 3: Определим верхнюю функцию

Проверим при $x = 0$:
$y_1 = 2 \cdot 0^2 = 0$,
$y_2 = 0.5 \cdot 0 + 1.5 = 1.5$,
значит, $y = 0.5x + 1.5$ выше.

Шаг 4: Разница между функциями

$$S = \int_{-3/4}^{1} \left( (0.5x + 1.5) — 2x^2 \right) dx = \int_{-3/4}^{1} (0.5x + 1.5 — 2x^2) \, dx$$

Шаг 5: Интегрируем

$$\int \left( 0.5x + 1.5 — 2x^2 \right) dx = 0.5 \cdot \frac{x^2}{2} + 1.5x — 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{1}{4}x^2 + 1.5x — \frac{2}{3}x^3$$

Шаг 6: Подстановка пределов

В точке $x = 1$:

$$\frac{1}{4}(1)^2 + 1.5 \cdot 1 — \frac{2}{3} \cdot 1^3 = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} — \frac{2}{3}$$

В точке $x = -\frac{3}{4}$:

• $x^2 = \frac{9}{16}$
• $x^3 = -\frac{27}{64}$

$$\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{64}, \quad 1.5 \cdot (-\frac{3}{4}) = -\frac{9}{8}, \quad \frac{2}{3} \cdot \left( -\frac{27}{64} \right) = -\frac{54}{192} = -\frac{9}{32}$$

Сумма:

$$\frac{9}{64} — \frac{9}{8} + \frac{9}{32} = \text{приведём к общему знаменателю 64:}$$ $$\frac{9}{64} — \frac{72}{64} + \frac{18}{64} = \frac{-45}{64}$$

Теперь вся площадь:

$$\left( \frac{1}{4} + \frac{3}{2} — \frac{2}{3} \right) + \frac{45}{64}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{4} = \frac{48}{192}, \quad \frac{3}{2} = \frac{288}{192}, \quad \frac{2}{3} = \frac{128}{192} \Rightarrow \frac{48 + 288 — 128}{192} = \frac{208}{192}$$

Добавляем:

$$\frac{208}{192} + \frac{135}{192} = \frac{343}{192} = 1 \frac{151}{192}$$

Ответ:

$$S = 1 \frac{151}{192}$$