ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 631 Алимов — Подробные Ответы

1. 2 sin 2x — 3 (sin x + cos x) + 2 = 0;
2. sin 2x + 3 = 3 sin x + 3 cos x;
3. sin 2x + 4 (sin x + cos x) + 4 = 0;
4. sin 2x + 5 (cos x + sin x + 1) = 0.

1) $2 \sin 2x — 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0$;

$2 \sin 2x — 3(\sin x + \cos x) + 2(\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$;

$2 \sin 2x — 3(\sin x + \cos x) + 2(\sin x + \cos x)^2 — 4 \sin x \cdot \cos x = 0$;

$2 \sin 2x — 3(\sin x + \cos x) + 2(\sin x + \cos x)^2 — 2 \sin 2x = 0$;

Первое уравнение:

$\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x$;

$\operatorname{tg} x + 1 = 0$;

$\operatorname{tg} x = -1$;

$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе уравнение:

$2 \sin x + 2 \cos x — 3 = 0$;

$\sin x + \cos x = \frac{3}{2} \quad | : \sqrt{2}$;

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$;

$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$;

$\sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{3}{2\sqrt{2}}$ — нет корней;

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$.

2) $\sin 2x + 3 = 3 \sin x + 3 \cos x$;

$1 + \sin 2x + 2 = 3(\sin x + \cos x)$;

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin 2x + 2 — 3(\sin x + \cos x) = 0$;

$(\sin x + \cos x)^2 — 2 \sin x \cdot \cos x + \sin 2x + 2 — 3(\sin x + \cos x) = 0$;

$(\sin x + \cos x)^2 — 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0$;

Пусть $y = \sin x + \cos x$, тогда:

$y^2 — 3y + 2 = 0$;

$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$, тогда:

$y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2$;

Первое уравнение:

$\sin x + \cos x = 1 \quad | : \sqrt{2}$;

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

$x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

$x_2 = +\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Второе уравнение:

$\sin x + \cos x = 2$ — корней нет.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

3) $\sin 2x + 4(\sin x + \cos x) + 4 = 0$;

$\sin 2x + 1 + 4(\sin x + \cos x) + 3 = 0$;

$\sin 2x + (\sin^2 x + \cos^2 x) + 4(\sin x + \cos x) + 3 = 0$;

$\sin 2x + (\sin x + \cos x)^2 — 2 \sin x \cdot \cos x + 4(\sin x + \cos x) + 3 = 0$;

$\sin 2x + (\sin x + \cos x)^2 — \sin 2x + 4(\sin x + \cos x) + 3 = 0$;

$(\sin x + \cos x)^2 + 4(\sin x + \cos x) + 3 = 0$;

Пусть $y = \sin x + \cos x$, тогда:

$y^2 + 4y + 3 = 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:

$y_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3$ и $y_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1$;

Первое уравнение:

$\sin x + \cos x = -3$ — корней нет;

Второе уравнение:

$\sin x + \cos x = -1 \quad | : \sqrt{2}$;

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x — \frac{\pi}{4} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;

$x_1 = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

$x_2 = +\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $\pi + 2\pi n$.

4) $\sin 2x + 5(\cos x + \sin x + 1) = 0$;

$\sin 2x + 1 + 5(\cos x + \sin x) + 4 = 0$;

$\sin 2x + (\cos^2 x + \sin^2 x) + 5(\cos x + \sin x) + 4 = 0$;

$\sin 2x + (\sin x + \cos x)^2 — 2 \sin x \cdot \cos x + 5(\sin x + \cos x) + 4 = 0$;

$\sin 2x + (\sin x + \cos x)^2 — \sin 2x + 5(\sin x + \cos x) + 4 = 0$;

$(\sin x + \cos x)^2 + 5(\sin x + \cos x) + 4 = 0$;

Пусть $y = \sin x + \cos x$, тогда:

$y^2 + 5y + 4 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$, тогда:

( y_1 = \frac{-5 — 3}{2}

= -4 ) и $y_2 = \frac{-5 + 3}{2} = -1$;

Первое уравнение:

$\sin x + \cos x = -4$ — корней нет;

Второе уравнение:

$\sin x + \cos x = -1 \quad | : \sqrt{2}$;

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x — \frac{\pi}{4} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;

$x_1 = -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

$x_2 = +\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$; $\pi + 2\pi n$.

1) $2 \sin 2x — 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0$

Исходное уравнение:

$$2 \sin 2x — 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0.$$

Перепишем выражение для $\sin 2x$, используя формулу удвоенного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Подставим это в уравнение:

$$2 \cdot 2 \sin x \cos x — 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0,$$ $$4 \sin x \cos x — 3(\sin x + \cos x) + 2 = 0.$$

Теперь упростим уравнение:

$$4 \sin x \cos x — 3 \sin x — 3 \cos x + 2 = 0.$$

Применим замену $y = \sin x + \cos x$, тогда:

$$y^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x,$$

отсюда:

$$2 \sin x \cos x = \frac{y^2 — 1}{2}.$$

Подставим в исходное уравнение:

$$4 \cdot \frac{y^2 — 1}{2} — 3y + 2 = 0,$$ $$2(y^2 — 1) — 3y + 2 = 0,$$ $$2y^2 — 2 — 3y + 2 = 0,$$ $$2y^2 — 3y = 0.$$

Решим это квадратное уравнение:

$$y(2y — 3) = 0.$$

Таким образом, $y = 0$ или $y = \frac{3}{2}$.

1.1) $y = 0$

Это означает:

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Разделим обе стороны на $\cos x$:

$$\operatorname{tg} x = -1.$$

Следовательно:

$$x = -\arctg(1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

1.2) $y = \frac{3}{2}$

Это означает:

$$\sin x + \cos x = \frac{3}{2}.$$

Поделим обе стороны на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x = \frac{3}{2\sqrt{2}}.$$

Теперь подставим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ для $\cos \frac{\pi}{4}$ и $\sin \frac{\pi}{4}$:

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \frac{3}{2\sqrt{2}}.$$

Это можно записать как:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \frac{3}{2\sqrt{2}}.$$

Однако, $\frac{3}{2\sqrt{2}} > 1$, что делает уравнение бессмысленным, так как синус не может превышать 1.

Ответ для первого уравнения:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

2) $\sin 2x + 3 = 3 \sin x + 3 \cos x$

Исходное уравнение:

$$\sin 2x + 3 = 3 (\sin x + \cos x).$$

Используем формулу для $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$$2 \sin x \cos x + 3 = 3 (\sin x + \cos x),$$

или:

$$2 \sin x \cos x + 3 = 3 \sin x + 3 \cos x.$$

Переносим все на одну сторону:

$$2 \sin x \cos x — 3 \sin x — 3 \cos x + 3 = 0.$$

Используем замену $y = \sin x + \cos x$:

$$y^2 = 1 + 2 \sin x \cos x.$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$y^2 — 3y + 3 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 — 12 = -3.$$

Так как дискриминант отрицателен, корней у этого уравнения нет.

Ответ для второго уравнения: нет решений.

3) $\sin 2x + 4 (\sin x + \cos x) + 4 = 0$

Исходное уравнение:

$$\sin 2x + 4 (\sin x + \cos x) + 4 = 0.$$

Используем формулу для $\sin 2x$:

$$2 \sin x \cos x + 4 (\sin x + \cos x) + 4 = 0,$$

или:

$$2 \sin x \cos x + 4 \sin x + 4 \cos x + 4 = 0.$$

Применим замену $y = \sin x + \cos x$:

$$y^2 — 2 \sin x \cos x + 4y + 4 = 0.$$

Таким образом:

$$y^2 — 4y + 4 = 0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 — 16 = 0.$$

Корень уравнения:

$$y = \frac{4}{2} = 2.$$

Теперь решаем:

$$\sin x + \cos x = 2.$$

Так как максимальное значение $\sin x + \cos x$ равно $\sqrt{2}$, корней у этого уравнения нет.

Ответ для третьего уравнения: нет решений.

4) $\sin 2x + 5 (\cos x + \sin x + 1) = 0$

Исходное уравнение:

$$\sin 2x + 5 (\cos x + \sin x + 1) = 0.$$

Используем формулу для $\sin 2x$:

$$2 \sin x \cos x + 5 (\sin x + \cos x + 1) = 0,$$

или:

$$2 \sin x \cos x + 5 \sin x + 5 \cos x + 5 = 0.$$

Используем замену $y = \sin x + \cos x$:

$$y^2 — 2 \sin x \cos x + 5y + 5 = 0.$$

Таким образом:

$$y^2 + 5y + 5 = 0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 25 — 20 = 5.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-5 — \sqrt{5}}{2}, \quad y_2 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2}.$$

Так как $\sin x + \cos x$ ограничено значениями от $-\sqrt{2}$ до $\sqrt{2}$, ни один из корней не может быть допустимым.

Ответ для четвертого уравнения: нет решений.

Ответы:

1. $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$
2. Нет решений
3. Нет решений
4. Нет решений